第18讲-幂函数图像与性质

　 主 主

　题 幂函数的图像与性质 教学内容

　1. 了解幂函数的概念； 2. 掌握常见幂函数的图像与性质。

　观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？ （1）

　y x  ；（2）2y x  ；（3）3y x  ；（4）12y x  ；（5）1y x   .

　 幂函数的定义：一般地，形如ky x  的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，k 是常数，且 k Q  ； 判断：下列各式中表示幂函数的有（

　 ）

　A、123 y x 

　B、xy x 

　C、23y x 

　D、 2 x y 

　E、7 4y x 

　F、0.5y x 

　G、2y x 

　 思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？

　 例 1. 研究函数12y x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像

　试一试：仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

　 （1）

　y ＝ x－ 1 ；

　（2）

　y ＝ x － 2 ；

　（3）

　y ＝14x－．

　小结：研究函数图像的基本步骤（方法）

　1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。

　2、由单调性判断图像的变化趋势。

　3、由奇偶性判断函数图像是否对称。

　例 2. 指出23y x  的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。

　 仿照例 2 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

　（1）

　y ＝21x ；（2）

　y ＝31x ；（3）

　y ＝25x ；

　例 3.

　指出函数73y x  的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。

　 试一试：仿照例 3 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1）3y x 

　 （2）43y x 

　 （3）54y x 

　幂函数总结：

　例 4. 已知幂函数221m myx  在区间   ,0  上是减函数，求 m 的最大负整数值.

　试一试：已知幂函数    21 32 2p pZ f x x p    在   0, 上是增函数，且在定义域上是偶函数，求 p 的值，并写出相应的函数．

　（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

　比较大小：

　1. 已知函数（1）

　2 x y  ；（2）14y x  ；（3）1yx ；（4）43y x  ，写出分别具下列性质的函数 ①图像与 x 轴有交点的：

　 ；②图像关于原点对称的：

　 ； ③定义域内单调递减的：

　 ；④在定义域内有反函数的：

　 .

　2. 幂函数 22 3 * m my x m N   的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则 m 的是

　．

　3. 比较下列各组中两个数的大小：

　 （1）535 . 1 ，537 . 1 ；（2）0.7 1.5 ，0.6 1.5 ；（3）32) 2 . 1 (－－ ，32) 25 . 1 (－－ ．

　4. 已知    22 k kx k Z f x    满足     2 3 f f  ． （1）求 k 的值； （2）是否存在正数 m ，使         1 2 1 , 1,2 g x mf x m x x       的值域为174,8   ？为若存在，求出 m的范围；若不存在，说明理由.

　提高练习：

　1、 作函数  ) 1 ( ,11) 1 ( ,211) (**x ** f 的图像，并根据函数图像讨论方程 a x f  ) ( ， ) ( R a 的实根个数。

　2、 讨论函数3 31 ) ( , 1 ) (     x x h x x g 的图像与幂函数3) ( x x f  的图像的关系，并在同一直角坐标系中分别作出函数 ) ( ), ( ), ( x h x g x f 的图像。

　3、 讨论函数**y1 2  的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出此函数的大致图像。

　 本节课主要知识点：幂函数的概念，幂函数的图像和性质

　【巩固练习】

　1. 下列函数中不是幂函数的是（

　 ）

　A． y x 

　B．3y x 

　 C． 2 y x 

　D．1y x  

　2. 已知幂函数22 3( ) ( )m mf x x m Z   为偶函数，且在 (0, )  上是减函数，求 ( ) f x 的解析式.

　 【预习思考】

　问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……一个这样的细胞分裂

　x 次后,得到的细胞分裂的个数

　y 与

　x 之间,构成一个函数关系,能写出

　x 与

　y 之间的函数关系式吗？ 问题 2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表示。

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