考前复习均值不等式公式应用(含答案).doc

　高三考前复习均值不等式应用

　 【典型例题】

　例 1

　已知54x  ，求函数14 24 5y **  的最大值。

　 例 2. 当 时，求 (8 2 ) y x x   的最大值。

　例 3. 求27 10( 1)1x xy **   的值域。

　 例 4：求函数2254xyx的值域。

　例 5：已知 0, 0 x y   ，且1 91x y  ，求 x y  的最小值。

　例 6：已知 x ， y 为正实数，且 x 2 ＋ y 22 ＝1，求 x 1＋ y

　2

　的最大值.

　 例 7 已知 a ， b 为正实数，2 b ＋ ab ＋ a ＝30，求函数 y ＝1ab

　的最小值.

　【高考专练】

　例 1：（2010 年高考山东文科卷第 14 题）已知 , x y R   ，且满足 13 4x y  ，则 xy 的最大值为

　________。

　例 2：（2010 年高考四川文科卷第 11 题）设 0 a b ＞ ＞ ，则 21 1aab a a b 的最小值是（

　 ）

　（A）1

　 （B）2

　（C）3

　（D）4 例 3：

　（ 2010 年高考重庆理科卷第 7 题）

　已知 x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（

　）

　A. 3

　 B.

　4

　C.

　92

　D. 112 例 4：（2010 年高考江苏卷第 14 题）将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S=梯形的面积梯形的周长）2(,则 S 的最小值是_________。

　例 5：（2010 年高考全国Ⅰ卷第 11 题）已知圆 O 的半径为 1， PA、PB 为该圆的两条切线， A、B 为两切点，那么 PA PB的最小值为（

　）

　(A) 4 2  

　 (B)3 2  

　 (C) 4 2 2  

　(D)3 2 2  

　P A B O

　例 6：（2010 年高考山东理科卷第 14 题）若对任意 0 x  ，23 1xax x 恒成立，则 a 的取值范围是

　。

　例 7：（2010 年高考重庆文科卷第 12 题）已知 t o  ,则函数2t 4 1 tyt  的最小值为

　 例 8：

　（2010 年高考浙江文科卷第 15 题）若正实数 x，y

　 满足2 6 xy x y    ，则 xy

　的最小值是

　 。

　 【参考答案】

　例 1 ：（ 2010 年高考山东文科卷第 14 题）

　已知 , x y R  ，且满足 13 4x y  ，则 xy 的最大值为

　________。

　解：因为 x>0，y>0，所以 23 4 3 4 3x y x y xy   (当且仅当3 4x y ，即 x=6，y=8 时取等号)，于是 13xy ，3. xy  ，故 xy 的最大值位 3. 例 2 ：（ 2010 年高考四川文科卷第 11 题）

　设0 a b ＞ ＞ ，则 21 1aab a a b 的最小值是（

　 ）

　（A）1

　 （B）2

　（C）3

　（D）4 解： 21 1aab a a b w＝21 1( )a ab abab a a b    ＝1 1( )( )ab a a bab a a b   ≥2＋2＝4 当且仅当 ab＝1，a(a－b)＝1 时等号成立，如取 a＝2 ,b＝22满足条件。

　故选择答案 D 例 3：

　（ 2010 年高考重庆理科卷第 7 题）

　已知 x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（

　）

　A. 3

　 B.

　4

　C.

　92

　D. 112 解：

　因为 x>0，y>0，所以2228 ) 2 ( 8 2       y xy x y x ， 整理得     0 32 2 4 22     y x y x

　 即   0 8 2 4 2      y x y x ，又 0 2   y x ， 4 2    y x

　等号当且仅当 2 2 x y   时成立，故选择答案 B。

　例 4 ：（ 2010 年高考江苏卷第 14 题）

　将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S=梯形的面积梯形的周长）2(,则 S 的最小值是_________。

　解：设剪成的小正三角形的边长为 x ，则 2 22(3 ) 4 (3 )1 1 3 3( 1) (1 )2 2x xS** x        令22(3 )( ) (0 1)1xf x **  ，则22 26 9 6 10( ) 11 1x x xf ** x       令 3 5,(2 5) t x t      ，则2 226 10 2 18 185 161 10 161 ( ) ( ) 103x t ttx t ttt          因为 2 5 t   ，所以16 162 8 t tt t    ，等号当且仅当 t=4，即13x  时成立。

　所以16tt 最小值为 8 故226 9( )1x xf ** 的最小值为 8，S 的最小值是32 33。

　例 5 ：（ 2010 年高考全国 Ⅰ 卷第 11 题）

　已知圆 O 的半径为 1，PA 、 PB 为该圆的两条切线，A 、 B 为两切点，那么 PA PB的最小值为（

　）

　(A) 4 2  

　 (B)3 2  

　 (C) 4 2 2  

　(D)3 2 2   解：如图所示：设 PA=PB= x ( 0) x  , ∠APO=  ，则∠APB= 2  ，PO=21 x ， 21sin1 x ， | | | |cos2 PA PB PA PB     =2 2(1 2sin ) x   =2 22( 1)1x **=4 221x **， 令 PA PB y   ，则4 221x xyx，令21, 0 t x t    ， 则2 2( 1) ( 1) 3 2 23 2 2 3t t t ty tt t t          

　等号当且仅当2tt ，即2 t 时成立。

　P A B O

　例 5 图

　故min( ) 3 2 2 PA PB    .此时2 1 x  .，选择答案 D。

　练习：

　2. （ 2010 年高考山东理科卷第 14 题）

　若对任意 0 x  ，23 1xax x 恒成立，则 a 的取值范围是

　。

　答案：15a 

　解：因为 0 x  ，所以12 **  （当且仅当 x=1 时取等号），所以有 21 1 113 1 2 3 53** **x     ，即23 1** x  的最大值为15，故15a  。

　3. （ 2010 年高考重庆文科卷第 12 题）

　已知 t o  ,则函数2t 4 1 tyt  的最小值为

　 答案：—2 解：24 1 14 2( 0)t ty t tt t        ，当且仅当 1 t  时，min2 y   . 4. （ 2010 年高考浙江文科卷第 15 题）

　若正实数 x ， y

　满足 2 6 xy x y   

　，则 xy 的最小值是

　 。（变式：求 2x+y 的最小值为______）

　答案：18 解：因为 x>0，y>0 ，所以 6 2 2 6 2      xy y x xy ， 2 2 6 0 xy xy    ，解得 3 2 2 xy xy   或 （舍）

　等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。

　变式答案：12 解：因为 x>0，y>0 ，所以21 22 6 ( )2 2x yxy x y   

　整理得2(2 ) 8(2 ) 48 0 x y x y      ，解得 2 12 2 4( x y x y      或 舍）

　等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x+y 的最小值为 12。

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