提公因式法基础知识讲解

　提公因式法（基础）

　【学习目标】

　1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】

　要点一、因式分解

　 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

　：

　要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

　 （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

　 （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

　要点二、公因式

　 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

　：

　要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

　 （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

　 （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

　要点三、提公因式法

　 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即 ，而 正好是除以 m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

　：

　要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

　即

　 .

　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误.

　【典型例题】

　类型一、因式分解的概念

　 1、观察下列从左到右的变形：

　⑴   3 3 2 26 2 3 a b a b ab    ；

　 ⑵  ma mb c m a b c     

　⑶  22 26 12 6 6 x xy y x y     ；

　⑷  2 23 2 3 2 9 4 a b a b a b    

　其中是因式分解的有

　 （填序号）

　【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．

　【答案 】（3）. 【解析 】

　 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式， (2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解； 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【 总结升华 】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：

　【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（

　）

　A.a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21

　B.a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）

　 C.（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21

　 D.a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25

　【答案】B. 类型二、提公因式法分解因式

　2、(1)多项式23 6 3 x xy   的公因式是________； (2)多项式3 24 16 8 mn m m   的公因式是________；

　 (3)多项式 ( ) ( ) ( ) x b c a y b c a a b c         的公因式是________；

　 (4)多项式 2( 3) (3 ) x x x    的公因式是________．

　【答案 】(1)3

　(2)4 m

　 (3) b c a  

　 (4) 3 x

　【解析 】

　解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式． (1)的公因式就是 3、6、3 的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为 3. (2)公因式的系数是 4、16、8 的最大公约数，字母部分是 m ．公因式为 4 m . (3)公因式是（ b c a   ），为一个多项式因式． (4)多项式可变形     2 3 3 x x x    ，其公因式是 3 x ． 【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．

　举一反三：

　【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（

　）

　A．2x y 

　 B．22 x x 

　C．2x y

　D．2x xy y 

　【答案】B； 3、若      2 3 2p q q p q p E      ，则 E 是（

　）

　A． 1 q p  

　 B． q p 

　C． 1 p q  

　D． 1 q p  

　【答案】C； 【解析】

　解：

　   2 3p q q p        21 q p p q    ．故选 C． 【总结升华】观察等式的右边，提取的是  2q p  ，故可把  2p q  变成  2q p  ，即左边＝   21 q p p q    .注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号． 举一反三：

　【变式】把多项式      1 1 1 m m m     提取公因式   1 m 后，余下的部分是（

　）

　A． 1 m

　 B． 2m

　 C．2

　D． 2 m 

　【答案】D；

　解：

　     1 1 1 m m m     ， ＝    1 1 1 m m    ， ＝    1 2 m m   ． 4、（2015 春?新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）. 【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．

　【答案与解析】

　解：原式=3x（a﹣b）+6y（a﹣b）=3（a﹣b）（x+2y）． 【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 举一反三：

　【变式】用提公因式法分解因式正确的是（

　）

　A．  2 2 212 9 3 4 3 abc a b c abc ab   

　B．  2 23 3 6 3 2 x y xy y y x x y     

　 C．  2a ab ac a a b c      

　 D．  2 25 5 x y xy y y x x    

　【答案】C；

　解：A.  2 2 212 9 3 4 3 abc a b c abc abc    ，故本选项错误； B.  2 23 3 6 3 2 x y xy y y x x      ，故本选项错误； C.  2a ab ac a a b c       ，正确； D.  2 25 5 1 x y xy y y x x      ，故本选项错误． 类型三、提公因式法分解因式的应用

　5、若 0 2 32   x x ，求 x x x 4 6 22 3  的值. 【答案与解析】

　解：

　由 0 2 32   x x ，得23 2 x x  

　  3 2 22 6 4 2 3 4 2 2 4 0 x x x x x x x x x         . 【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构， 3 2 22 6 2 3 x x x x x   ，这样就能由已知整体代入求值了.

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