2020版一轮复习理数通用版：高考达标检测（四十一）,,圆锥曲线综合问题——直线与圆锥曲线位置关系

　高考达标检测（四十一）

　圆锥曲线的综合问题 —— 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1 ．已知过抛物线 y 2 ＝ ＝4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， ，B 两点，且点 A 在第一象限，若 若|AF| ＝3 ，则直线 l 的斜率为(

　) A ．1

　 B. 2 C. 3

　D ．2 2 解析：选 选 D

　由题意可知焦点 F(1,0) ，设 A(x A ，y A ) ， 由 由|AF| ＝3 ＝x A ＋ ＋1 ，得 x A ＝ ＝2 ，又点 A 在第一象限， 故 故 A(2,2 2) ，故直线 l 的斜率为 2 2. 2 ．若直线 y ＝kx ＋2 与抛物线 y 2 ＝ ＝x 有一个公共点，则实数 k 的值为(

　) A. 18

　 B ．0 C. 18

　 或或 0

　D ．8 或 或 0 解析：选 选 C

　由 由       y ＝kx ＋2， ，y 2 ＝x ，得 得 ky 2 －y ＋2 ＝0 ， 若 若 k ＝0 ，直线与抛物线有一个交点，则 y ＝2 ， 若 若 k ≠0 ，则 Δ＝ ＝1 －8k ＝0， ， ∴k ＝ 18 ，， 知 综上可知 k ＝0 或 18 . 3 ．已知双曲线 C：

　：

　x2a 2 － y2b 2 ＝＝1(a>0 ，b>0) ，过点 P(3,6) 的直线 l 与 与 C 相交于 A ，B 两点，且 且 AB 的中点为 N(12,15) ，则双曲线 C 的离心率为(

　) A ．2

　B. 32

　C. 3 55

　D.52

　解析：选 选 B

　设 设 A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ，

　由 由 AB 的中点为 N(12,15)， ，得 得 x 1 ＋ ＋x 2 ＝ ＝24 ，y 1 ＋ ＋y 2 ＝ ＝30 ， 由    x 2 1a 2 － y21b 2 ＝＝1， ，x 2 2a 2 － y22b 2 ＝＝1， ，两式相减得 ：

　 x1 ＋ ＋x 2   x 1 － －x 2  a 2＝  y1 ＋ ＋y 2   y 1 － －y 2  b 2， ，

　 则 y1 － －y 2x 1 － －x 2 ＝ b2  x 1 ＋＋x 2  a 2  y 1 ＋ ＋y 2   ＝ 4b25a 2 . 线 由直线 AB 的斜率 k＝ ＝ 15 －612 －3 ＝＝1 ， ∴ 4b25a 2 ＝＝1， ， 则 b2a 2 ＝ 54 ，， ∴率 双曲线的离心率 e＝ ＝ ca ＝ 1＋ ＋ b2a 2 ＝ 32 . 4 ．已知抛物线 C ：y 2 ＝ ＝8x 与点 M( －2,2) ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， ，B 两点．若MA― ― → ·MB ― ― → ＝＝0 ，则 k ＝ (

　) A. 12

　 B.22 C. 2

　D ．2

　解析：选 选 D

　如图所示，设 F 为焦点，取 AB 的中点 P ，过 A ，B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 G ，H ，连接 MF ，MP ， 由 由MA― ― → ·MB ― ― → ＝＝0 ，知 MA ⊥MB ，则|MP|＝ ＝ 12 |AB|＝＝ 12 (|AG| ＋|BH|) ， 以 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线， 以 所以 MP ∥AG ∥BH ，所以∠ ∠GAM ＝ ∠AMP ＝ ∠MAP ， 又 又|AG| ＝|AF| ，AM 为公共边，所以 △AMG ≌ △AMF ， 所以 ∠AFM ＝ ∠AGM ＝90° ，则 MF ⊥AB ，所以 k ＝－1k MF ＝＝2. 5知 ．已知 F 是双曲线 x2a 2 － y2b 2 ＝＝1(a ＞0 ，b ＞0) 的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D 为其上一点，DF ⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 DF 交于点 E ，与 y 轴交于点 点 M ，直线 BE 与 与 y 轴交于点 N ，若 3|OM| ＝2|ON| ，则双曲线的离心率为(

　) A ．3

　B ．4 C ．5

　D ．6 解析：选 选 C

　如图，设 A( －a,0) ，B(a,0) ，M(0 ，2m) ，N(0 ，－3m)． ． 线 则直线AM 的方程为y ＝ 2max ＋2m ，直线BN 的方程为y ＝ 3max －3m. ∵线 直线 AM ，BN 的交点 D(c ，y 0 ) ， ∴ 2mca＋ ＋2m＝ ＝ 3mca－ －3m ，则 ca ＝＝5 ， ∴为 双曲线的离心率为 5. 6 ．斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 ＋＋y 2 ＝ ＝1 相交于 A ，B 两点，则|AB| 的最大值为(

　)

　 A ．2

　B. 4 55 C. 4 105

　D. 8 105 解析：选 选 C

　设 设 A ，B 两点的坐标分别为(x 1 ，y 1 ) ，(x 2 ， ，y 2 ) ，直线 l 的方程为 y ＝x ＋t ， 由       x 2 ＋ ＋4y 2 ＝ ＝4， ，y ＝x ＋t去 消去 y ，得 5x 2 ＋ ＋8tx ＋4(t 2 － －1) ＝0. 则 则 x 1 ＋ ＋x 2 ＝－ 85 t ，x 1 x 2 ＝ 4 t2 －－1 5. ∴ ∴|AB|＝ ＝ 1 ＋k 2 |x 1 －x 2 |＝ ＝ 1 ＋k 2 ·  x 1 ＋x 2   2 － －4x 1 x 2

　＝ ＝ 2·     － 85 t2 －－4× × 4 t2 －－1 5＝ 4 25· 5 －t 2 ， ， 当 故当 t ＝0 时，|AB| max ＝ 4 105. 二、填空题 7 ．焦点是 F(0,5 2) ，并截直线 y ＝2x －1 所得弦的中点的横坐标是 27 的椭圆的标准方程为 为__________ ． 解析：

　设所 求的椭圆方程为 y2a 2 ＋ x2b 2 ＝＝1(a>b>0) ，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x 1 ，y 1 )， ，B(x 2 ，y 2 ) ． 弦 由题意，可得弦 AB 的中点坐标为     x 1 ＋x 22， y1 ＋y 22， ， 且 x1 ＋x 22＝ 27 ， y1 ＋y 22＝－ 37 . 将 将 A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得    y 2 1a 2 ＋ x21b 2 ＝＝1， ，y 2 2a 2 ＋ x22b 2 ＝＝1.

　两式相减并化简，得 a2b 2 ＝－ y1 －y 2x 1 －x 2 ·y 1 ＋y 2x 1 ＋x 2 ＝－2× ×－ 6747＝ ＝3 ， 以 所以 a 2 ＝ ＝3b 2 .又 又 c 2 ＝a 2 －b 2 ＝ ＝50 ，所以 a 2 ＝ ＝75 ，b 2 ＝ ＝25. 故所求椭圆的标准方程为 y275 ＋ x225 ＝＝1. 答案：

　y275 ＋ x225 ＝＝1 8 ．经过双曲线 x2a 2 － y2b 2 ＝＝1(a ＞0 ，b ＞0)为 的右焦点，倾斜角为 60° 的直线与双曲线有且只

　 有一个交点，则该双曲线的离心率为________ ． 解析：

　∵ 经过双曲线 x2a 2 － y2b 2 ＝＝1(a ＞0 ，b ＞0) 的右焦点， 为 倾斜角为 60° 的直线与双曲线有且只有一个交点， ∴ 根据双曲线的几何性质知线 所给直线应与双曲线的一条渐近线 y ＝ ba x 平行， ∴ ba ＝＝tan 60°＝ ＝ 3 ，即 b＝ ＝ 3a ， ∴c ＝ a 2 ＋b 2 ＝ ＝2a ，故 e ＝ ca ＝＝2. 答案：2 9 ．抛物线 x 2 ＝ ＝4y 与直线 x －2y ＋2 ＝0 交于 A ，B 两点，且 A ，B 关于直线 y ＝－2x ＋m则 对称，则 m 的值为________ ． 解析：设 设 A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ),

　联立       x 2 ＝ ＝4y， ，x －2y ＋2 ＝0去 消去 y ，得 x 2 － －2x －4 ＝0. 则 则 x 1 ＋ ＋x 2 ＝ ＝2， ， x1 ＋x 22＝ ＝1. ∴y 1 ＋y 2 ＝ 12 (x 1 ＋x 2 ) ＋2 ＝3， ， y1 ＋y 22＝ 32 .

　∵A ，B 关于直线 y ＝－2x ＋m 对称， ∴AB 的中点在直线 y ＝－2x ＋m 上， 即 32 ＝－2 ×1 ＋m ，解得 m ＝ 72 . 答案：

　72

　三、解答题 10 ．椭圆 C：

　：

　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a ＞b ＞0) 的离心率为33点 ，过右焦点 F 2 (c,0) 垂直于 x 轴的直线与于 椭圆交于 P ，Q 两点且|PQ|＝ ＝ 4 33点 ，又过左焦点 F 1 ( －c,0) 作直线 l 交椭圆于两点． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若椭圆 C 上两点 A ，B 关于直线 l 对称，求△ △AOB 面积的最大值． 解：(1) 由题意可知|PQ|＝ ＝ 2b2a＝ 4 33.

　 ① 率 又椭圆的离心率 e ＝ ca ＝＝ 1－ － b2a 2 ＝33，则 b2a 2 ＝ 23 ，，

　② 由 ①②得 解得 a 2 ＝ ＝3 ，b 2 ＝ ＝2 ，

　 ∴ 椭圆的方程为 x23 ＋ y22 ＝＝1. (2) 由(1) 可知左焦点 F 1 ( －1,0),

　线 依题意，直线 l 不垂直 x 轴，当直线 l 的斜率 k ≠0 时，可设直线 l 的方程为 y ＝k(x＋ ＋1)(k ≠0) ，则直线 AB 的方程可设为 y ＝－ 1k x ＋m ，A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ， 联立    y ＝－ 1k x ＋m ，x 23 ＋ y22 ＝＝1， ，整理得(2k 2 ＋ ＋3)x 2 － －6kmx ＋3k 2 m 2 － －6k 2 ＝ ＝0 ， Δ＝ ＝( －6km) 2 － －4 ×(2k 2 ＋ ＋3)(3k 2 m 2 － －6k 2 ) ＞0 ， 则 则 m 2 k 2 － －2k 2 － －3 ＜0 ，

　③ x 1 ＋x 2 ＝6km2k 2 ＋ ＋3 ，x 1 x 2 ＝ 3k2 m 2 －－6k 22k 2 ＋ ＋3. 设 设 AB 的中点为 C(x C ，y C ) ， 则 则 x C ＝ x1 ＋x 22＝3km2k 2 ＋ ＋3 ，，y C ＝2k 2 m2k 2 ＋ ＋3 . ∵点 点 C 在直线 l 上， ∴2k 2 m2k 2 ＋ ＋3 ＝k     3km2k 2 ＋ ＋3 ＋＋1 ，， 则 则 m ＝－2k－ － 3k ，，

　 ④ 时 此时 m 2 － －2－ －3k 2 ＝＝4k 2 ＋6k 2 ＋＋10 ＞0 与 与 ③故 矛盾，故 k ≠0 时不成立.

　线 当直线 l 的斜率 k ＝0 时，A(x 0 ，y 0 ) ，B(x 0 ，－y 0 )(x 0 ＞ ＞0 ，y 0 ＞ ＞0) ， ∴△AOB 的面积 S ＝ 12 ·2y 0 ·x 0 ＝x 0 y 0 . ∵ x203 ＋ y202 ＝＝1 ≥2 x 2 03 ·y 2 02 ＝63x 0 y 0 ， ∴x 0 y 0 ≤62. 当且仅当 x203 ＝ y202 ＝ 12 时取等号． ∴△AOB 的面积的最大值为62. 11 ．已知抛物线 E ：y 2 ＝ ＝2px(p ＞0) 的焦点 F ，E 上一点(3 ，m) 到焦点的距离为 4. (1) 求抛物线 E 的方程； (2)过 过 F 作直线 l ，交抛物线 E 于 于 A ，B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为－1 ，求直线l 的方程． 解：(1) 抛物线 E ：y 2 ＝ ＝2px(p ＞0) 的准线方程为 x ＝－ p2 ，， 知 由抛物线的定义可知 3－ －     － p2

　＝4 ，

　 得 解得 p ＝2， ， ∴线 抛物线 E 的方程为 y 2 ＝ ＝4x. (2) 法一：由 由(1) 得抛物线 E 的方程为 y 2 ＝ ＝4x ，焦点 F(1,0) ， 设 设 A ，B 两点的坐标分别为 A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ， 则       y 2 1 ＝ ＝4x 1 ，y 2 2 ＝ ＝4x 2 ， 两式相减，整理得 y2 －y 1x 2 －x 1

　＝＝4y 2 ＋y 1 (x 1 ≠≠x 2 ) ． ∵段 线段 AB 中点 的纵坐标为－1 ， ∴线 直线 l 的斜率 k AB ＝4y 2 ＋y 1 ＝4  －1  ×2 ＝－2 ， ∴线 直线 l 的方程为 y －0 ＝－2(x －1) ，即 2x ＋y －2 ＝0. 法二：由 由(1) 得抛物线 E 的方程为 y 2 ＝ ＝4x ，焦点 F(1,0) ， 线 设直线 l 的方程为 x ＝my ＋1 ， 由       y 2 ＝ ＝4x， ，x ＝my ＋1去 消去 x ，得 y 2 － －4my －4 ＝0.

　设 设 A ，B 两点的坐标分别为 A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ，

　∵ ∵段 线段 AB 中点的纵坐标为－1 ， ∴ y1 ＋y 22 ＝ 4m2＝－1 ，解得 m ＝－ 12 ，， ∴线 直线 l 的方程为 x ＝－ 12 y ＋1 ，即 2x ＋y －2 ＝0. 12 ．(2018· 海口调研) 已知椭圆 C：

　：

　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a>b>0) 的左，右顶点分别为 A ，B ，其离心率 率 e＝ ＝ 12 点，点 M 为椭圆上的一个动点，△ △MAB 面积的最大值是 2 3. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭为 圆的另一个交点为 D ，线段 BD 的垂直平分线与 y点 轴交于点 P ，当 PB― ― → ·PD ― ― → ＝＝0 时，求点 P 的坐标． 解：(1) 由题意可知      e ＝ ca ＝ 12 ，12 ××2ab ＝2 3， ，a 2 ＝b 2 ＋ ＋c 2 ， 得 解得 a ＝2 ，b＝ ＝ 3 ，所以椭圆方程为 x24 ＋ y23 ＝＝1. (2) 由(1)知 知 B(2,0) ，设直线 BD 的方程为 y ＝k(x －2) ，D(x 1 ，y 1 ) ， 把 把 y ＝k(x －2) 代入椭圆方程 x24＋ y23 ＝＝1 ，

　 整理得(3 ＋4k 2 )x 2 － －16k 2 x ＋16k 2 － －12 ＝0 ， 以 所以 2 ＋x 1 ＝16k 23 ＋4k 2 ⇒⇒x 1 ＝ 8k2 －－63 ＋4k 2 则，则 D        8k 2 － －63 ＋4k 2 ，－ －12k3 ＋4k 2， ， 以 所以 BD 中点的坐标为        8k 23 ＋4k 2 ，－ －6k3 ＋4k 2， ， 线 则直线 BD 的垂直平分线方程为 y －－ －6k3 ＋4k 2 ＝－ 1k     x －8k 23 ＋4k 2得 ，得 P     0， ，2k3 ＋4k 2. 又 又 PB― ― → ·PD ― ― → ＝＝0 ，即     2 ，－2k3 ＋4k 2·      8k 2 － －63 ＋4k 2 ，－ －14k3 ＋4k 2＝ ＝0 ， 化简得 64k4 ＋＋28k 2 － －36 3 ＋4k 2   2＝ ＝0 ⇒64k 4 ＋ ＋28k 2 － －36 ＝0 ， 得 解得 k ＝±34 . 故故 P     0， ， 27或     0 ，－ 27.

　1 ．已知椭圆 C：

　：

　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a>b>0) 的短轴长为 2 ，离心率为22线 ，设过右焦点的直线 l 与 与圆 椭圆 C 交于不同的两点 A ，B ，过 A ，B 作直线 x ＝2 的垂线 AP ，BQ ，垂足分别为 P ，Q.记 记 λ ＝ |AP| ＋|BQ||PQ|线 ，若直线 l 的斜率 k≥ ≥ 3 ，则 λ 的取值范围为__________ ． 解析：

　∵圆 椭圆 C ：

　x2a 2 ＋ y2b 2 ＝＝1(a>b>0) 的短轴长为 2 ，离心率为22， ， ∴      2b ＝2， ，ca ＝22，a 2 ＝b 2 ＋ ＋c 2 ，得 解得 a＝ ＝ 2 ，b ＝c ＝1 ， ∴圆 椭圆 C 的方程为 x22 ＋y 2 ＝ ＝1. ∵线 过右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A ，B ， ∴线 设直线 l 的方程为 y ＝k(x －1) ， 联立      x 22 ＋y 2 ＝ ＝1， ，y ＝k x －1 得 得(2k 2 ＋ ＋1)x 2 － －4k 2 x ＋2k 2 － －2 ＝0,

　设 设 A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ，y 1 ＞y 2 ， ， 则 则 x 1 ＋ ＋x 2 ＝4k 22k 2 ＋ ＋1 ，x 1 x 2 ＝ 2k2 －－22k 2 ＋ ＋1 ，， ∴λ ＝ |AP| ＋|BQ||PQ|＝ 2 －x 1 ＋ ＋2 －x 2y 1 －y 2

　 ＝4 － x 1 ＋ ＋x 2  k x 1 － －1  －k x 2 － －1  ＝4 － x 1 ＋ ＋x 2  k  x 1 ＋x 2   2 － －4x 1 x 2

　＝4－ －4k 22k 2 ＋ ＋1k     4k 22k 2 ＋ ＋12 －－4× × 2k2 －－22k 2 ＋ ＋1＝2k 2 ＋ ＋2k＝ ＝ 2＋ ＋2k 2 . ∵k≥ ≥ 3 ， ∴当 当 k＝ ＝ 3 时，λ max ＝ ＝ 2＋ ＋ 23 ＝ 2 63当 ，当 k → ＋ ∞ 时，λ min → → 2 ， ∴λ 的取值范围是     2， ， 2 63. 答案 ：

　    2， ， 2 63 2 ．已知动点 M 到定点 F(1,0) 的距离比 M 到定直线 x ＝－2 的距离小 1. (1) 求点 M 的轨迹 C 的方程； (2) 过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l 1 ， ，l 2 线 ，分别交曲线 C 于点 A ，B 和 和 M ，N. 设线段AB ，MN 的中点分别为 P ，Q ，求证：直线 PQ 恒过一个定点； (3) 在(2) 的条件下，求△ △FPQ 面积的最小值． 解：(1) 由题意可知，动点 M 到定点 F(1,0) 的距离等于 M 到定直线 x ＝－1 的距离， 点 根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹 C 是抛物线， 点 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ＝ ＝4x. (2) 证明：设 A ，B 两点坐标分别为(x 1 ，y 1 ) ，(x 2 ，y 2 ) ， 点 则点 P 的坐标为     x 1 ＋x 22， y1 ＋y 22. 线 由题意可设直线 l 1 为 的方程为 y ＝k(x －1) ，k ≠0 ， 由       y 2 ＝ ＝4x， ，y ＝k x －1 得 得 k 2 x 2 － －(2k 2 ＋ ＋4)x ＋k 2 ＝ ＝0. Δ＝ ＝(2k 2 ＋ ＋4) 2 － －4k 4 ＝ ＝16k 2 ＋ ＋16>0. 线 因为直线 l 1 线 与曲线 C 交于 A ，B 两点， 以 所以 x 1 ＋x 2 ＝ ＝2＋ ＋4k 2 ，y 1 ＋y 2 ＝ ＝k(x 1 ＋x 2 － －2)＝ ＝ 4k . 点 所以点 P 的坐标为     1＋ ＋2k 2 ， 2k. 线 由题知，直线 l 2 的斜率为 － 1k 点，同理可得点 Q 的坐标为(1 ＋2k 2 ，－2k) ． 当 当 k ≠±1 时，有 1＋ ＋2k 2 ≠≠1 ＋2k 2 线 ，此时直线 PQ 的斜率

　 k PQ ＝2k ＋＋2k1＋ ＋2k 2 －－1 －2k 2＝k1 －k 2 . 线 所以直线 PQ 的方程为 y ＋2k＝ ＝k1 －k 2 (x －1 －2k 2 ) ， 得 整理得 yk 2 ＋ ＋(x －3)k －y ＝0. 线 于是直线 PQ 恒过定点 E(3,0) ； 当 当 k ＝±1 时，直线 PQ 的方程为 x ＝3 ，也过点 E(3,0) ． 线 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E(3,0) ． (3) 由(2) 得|EF| ＝2 ， 所以 △FPQ 面积 S ＝ 12 |EF|     2|k| ＋＋2|k| ＝2     1|k| ＋＋|k| ≥4 ， 当 当且仅当 k ＝±1 时， “ ＝ ” 成立， 所以 △FPQ 面积的最小值为 4.

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