【专题检测统计、统计案例理x】

专题检测（十七） 统计、统计案例

A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练

一、选择题

利用系统抽样法从编号分别为 1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为 16

的样本，如果抽出的产品中有

件产品的编号为

13,则抽到产品的最大编号为 （

)

A.

73

B.

78

C.

77

80

D .

76

解析：选B样本的分段间隔为 花=5,

所以

13号在第三组，则最大的编号为

13+ (16

—3) X 5= 78.故选 B.

（2019届高三?南宁摸底联考）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图

乙所示?为了了解该地区中小学生的近视形成原因,调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为2%的学生进行A. 100,20B . 200,20C. 200,10D . 100,10解析：选B由题图甲可知学生总人数是

乙所示?为了了解该地区中小学生的近视形成原因,

调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

2%的学生进行

A. 100,20

B . 200,20

C. 200,10

D . 100,10

解析：选B由题图甲可知学生总人数是

10 000，样本容量为 10 000 X 2%= 200，抽取

的高中生人数是 2 000 X 2%= 40,由题图乙可知高中生的近视率为 50%所以高中生的近视

人数为40X 50%= 20,故选 B.

3?从某地高中男生中随机抽取

分布直方图（如图），由直方图可知

（单位：kg）数据绘制成频率

估计体重的众数为 50或60

a= 0.03

学生体重在［50,60）有35人

1

D.从这100名男生中随机抽取一人，体重在 ［60,80）的概率为3

3

50 + 60

解析：选C根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为 —=55,所

以估计众数为 55，A错误；根据频率和为 1,计算（a+ 0.035 + 0.030 + 0.020 + 0.010） X 10

=1，解得a= 0.005 , B错误；体重在［50,60）内的频率是 0.35，估计体重在［50,60）内的学

生有100X 0.35 = 35人，C正确；体重在［60,80）内的频率为0.3 + 0.2 = 0.5，用频率估计概

1 率，知这100名男生中随机抽取一人，体重在 ［60,80）的概率为2，D错误.

4?如图是民航部门统计的 2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以

及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是

深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

解析：选D由图可知深圳对应的小黑点最接近 0%故变化幅度最小，北京对应的条形

图最高，则北京的平均价格最高， 故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在 0姬下,

故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降， 故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位

的城市为北京、深圳和广州，故 C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西 安和南京，故D错误，选D.

0的等差数列｛&｝，若

0的等差数列｛&｝，若a3 =

且a1, a3，az成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 （ ）

A. 13,12C. 12,13B

A. 13,12

C. 12,13

D . 13,14

解析：选B设等差数列

解析：选B

设等差数列｛an｝的公差为d（dM0）, a3= 8,

aa?= a3= 64, (8 — 2d)(8 + 4d)

2

=64，即 2d— d = 0, 又 0, 故 d= 2,故样本数据为:4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 , 平

4+ 22 X5 12+ 14

均数为 —10 = 13,中位数为 一2— = 13.

（2017 ?山东高考）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的

关系，从该班随机抽取 10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y与x之间有线性相关

A A A 10 10 A

关系，设其回归直线方程为 y = bx + a,已知 Xi = 225, y = 1 600, b= 4.该班某学生的脚

长为24,据此估计其身高为（

)

i = 1

A. 160

B .

163

C. 166

A A

D .

170

解析：选C由题意可知

y= 4x + a,

又 x = 22.5 , y = 160,

A

A

因此 160= 22.5 X 4+ a,

解得a= 70,

所以 y= 4x + 70.

当 x = 24 时，y= 4X 24+ 70= 166.

二、填空题

7?如图是某学校一名篮球运动员在 10场比赛中所得分数的茎叶图， 则该运动员在这10

TOC \o "1-5" \h \z 场比赛中得分的中位数为 .

0 I 5 E 9

1 2 斗 G E 9

解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列： 5,8,9,12,14,16,16,19,21,24 ，中间两个

14+ 16

为14与16,故中位数为 一2一= 15.

答案：15

& 已知一组数据 X1, X2,…，xn的方差为2,若数据ax1+ b, ax2 + b,…，axn + b（a>0） 的方差为8,贝U a的值为 .

解析：根据方差的性质可知， a2x 2= 8，故a = 2.

答案：2

某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机 调查了观看该节目的观众 110名，得到如下的列联表：

女

男

总计

喜爱

40

20

60

不喜爱

20

30

50

总计

60

50

110

试根据样本估计总体的思想，估计在犯错误的概率不超过 的前提下（约有

的把握）认为“喜爱该节目与否和性别有关”.

参考附表：

参考公式：2 n ad -

参考公式：

2 n ad - be ?亠

口= a+ b e + d a+ e b+ d ，其中 n = a+ b+ e+ d

解析：分析列联表中数据，可得K的观测值k=

110X 40X 30-20X 20

60 X 50 X 60 X 50

7.822 >6.635

，所

P(心 ko)

0.050

0.010

0.001

ko

3.841

6.635

10.828

以在犯错误的概率不超过0.01的前提下（有99%勺把握）认为“喜爱该节目与否和性别有关”.

答案：0.01 99%

三、解答题

某市教育学院从参加市级高中数学竞赛的考生中随机抽取 60名学生，将其竞赛成

绩（均为整数）分成六段：［40,50） , ［50,60） , ［60,70），…，［90,100］，得到如图所示的频 率分布直方图.

20 1

(2)因为各层人数分别为 6,9,9,18,15,3 ，各层抽取比例为 —=3，

所以各分数段抽取人数依次为 2,336,5,1.

11. 2017年8月22日金乡县首届“诚信文艺奖”评选暨 2017 “百姓大舞台”第一季

大型才艺大赛决赛在红星美凯龙举行?在比赛现场， 12名专业人士和12名观众代表分别组

A

3

6

977765422

4

2 6 7 9

5 0 0

F-

□

5 8

6

2 6 8

了

0 3

成评判小组A, B,给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图：

求A组数据的众数和极差， B组数据的中位数；

对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组

A与小组B哪一个更像是由专业

人士组成的？并说明理由.

解：(1)由茎叶图可得：A组数据的众数为47,极差为55- 42= 13 ;

B组数据的中位数为 笃58= 56.5.

(2)小组A更像是由专业人士组成的.理由如下: 小组A, B数据的平均数分别为

— 1

x A= 12 X (42 + 42 + 44 + 45 + 46 + 47+ 47 + 47 + 49 + 50+ 50 + 55) = 47 ,

X b=存(36 + 42 + 46 + 47 + 49 + 55+ 58 + 62 + 66 + 68+ 70 + 73) = 56 ,

所以小组A, B数据的方差分别为

2 1 2 2 2

Sa= 12 X [(42 — 47) + (42 — 47) + …+ (55 — 47)]

1

=12 X (25 + 25 + 9 + 4+ 1+ 4+ 9 + 9

+ 64) = 12.5 ,

2 1 2 2 2

Sb =石 X [(36 — 56) + (42 — 56) + …+ (73 — 56)]

1

=扩(400 + 196+ 100+ 81 + 49+ 1

+ 4 + 36 + 100+ 144+ 196 + 289) = 133.

因为sA<sB，所以小组 A的成员的相似程度高?由于专业裁判给分更符合专业规则，相

似程度应该更高，因此小组 A更像是由专业人士组成的.

12. （2019届高三?武汉调研）从某工厂的一个车间抽取某种产品 50件，产品尺寸（单

位：cm）落在各个小组的频数分布如下表:

数据

[12.5 ,

[15.5 ,

[18.5 ,

[21.5 ,

[24.5 ,

[27.5 ,

[30.5 ,

分组

15. 5)

18. 5)

21 . 5)

24. 5)

27. 5)

30. 5)

33. 5)

频数

3

8

9

12

10

5

3

（1） 根据频数分布表，估计该产品尺寸落在 [27.5,33.5）内的概率；

（2） 求这50件产品尺寸的样本平均数 7 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ）;

（3） 根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 Z服从正态分布 N（ 口，d 2）, 其中口近似为样本平均数 x , d 2近似为样本方差S2,经计算得S2= 22.41.利用该正态分 布，求 P（Z> 27.43）.

附：①若随机变量 Z服从正态分布 N 口，d 2），则

R 口 一 d <Z< 口+ d ） = 0.682 7 , P（ 口一 2 d <Z< 口 + 2 d ） = 0.954 5 ;

② 22.41 ~ 4.73.

5 + 3

解：（1）根据频数分布表，估计该产品尺寸落在 [27.5,33.5）内的概率P= = 0.16.

50

(2)样本 平均数 x = 0.06 X 14 + 0.16 X 17 + 0.18 X 20 + 0.24 X 23 + 0.20 X 26 +

0.10 X 29+ 0.06 X 32= 22.7.

（3）依题意Z?N（ 口，d ）,

而口= X = 22.7 , d 2= S2= 22.41，贝U d ?4.73 ,

F（22.7 — 4.73< Z<22.7 + 4.73） = 0.682 7 ,

?r 1 — 0.682 7

? F（Z> 27.43） = = 0.158 65.

B组一一大题专攻补短练

1. （2018 ?南昌一模）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情 况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各 40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学 方法改革.经过一年的教学实验，将甲、 乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班

学生的平均成绩均在[50,100]，按照区间[50,60） , [60,70） , [70,80） , [80,90） , [90,100] 进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于 80分（百分制）为优秀.

完成表格，并判断是否有 90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；

甲班

乙班

总计

大于等于80分的人数

小于80分的人数

总计

(2)从乙班［70,80) , ［80,90) ,［90,100］分数段中，按分层抽样随机抽取 7名学生座谈， 从中选3名学生发言，记来自［80,90)分数段中发言的人数为随机变量 X,求X的分布列和

数学期望.

附：

n ad— be c

n ad— be c+d a+ e

b+ d ，n = a+ b+ e + d.

F(K80X 12X 20—

80X 12X 20— 28X 20

0.10

0.05

0.025

ko

2.706

3.841

5.024

依题意得2=3.333>2.706.C3 4心

依题意得

2

=3.333>2.706.

C3 4

心0) = C=35,

P(X= 1)=

磴_ 18

"CT = 35,

P(X= 2)=

dC_ 12

"cT=35，

解：(1)补全表格如下:

甲班

乙班

总计

大于等于80分的人数

12

20

32

小于80分的人数

28

20

48

总计

40

40

80

其分布列为

所以 E(X)

所以 E(X) = OX

35+ 1X

18

35+ 2X

12 1 9

35 + 3 X 35 = 7.

X

0

1

2

3

P

4

18

12

1

35

35

35

35

2 ?社会公众人物的言行在一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观?某媒体机构为

了解大学生对影星、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称“星闻”)的关注情况，随机调查

了某大学的200位大学生，得到信息如下表：

男大学生

女大学生

不关注“星闻”

80

40

关注“星闻”

40

40

从所抽取的200人内关注“星闻”的大学生中，再抽取 3人做进一步调查，求这 3

人性别不全相同的概率；

是否有95%^上的把握认为关注“星闻”与性别有关？并说明理由；

把以上的频率视为概率，若从该大学被调查的男大学生中随机抽取 4人，设这4人

中关注“星闻”的人数为 E,求E的分布列及数学期望.

附：

n ad— be

n ad— be c+d a+ e

b+ d , n = a+ b+ e + d.

P(Q k。)

0.050

0.010

0.001

k。

3.841

6.635

10.828

(2)由于口 =

200X 80X 40— 40X 40

120X 80X 120X 80

50

5.556>3.841

40120故有95%^

40

120

由题意可得，从被调查的男大学生中抽取一位关注“星闻”的男大学生的概率为

1 2

=3,不关注“星闻”的概率为 3，E的所有可能取值为0,1,234.

3281；2 4 16

32

81；

R 三=0) = 3 =莎 R 三=1) = C4X 3X 3

2481827

24

81

8

27；

13X2= A； P( ,4)=

3 3 81'

1

81.

所以E的分布列为

E

0

1

2

3

4

P

16

32

8

8

1

81

81

27

81

81

因为E?B 4, g，所以E( E ) = 4.

（2018 ?潍坊统一考试）某机构为研究某种图书每册的成本费 y（单位：元）与印刷数

量x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些 统计量的值.

20t;L5E:LDF

20t;L5E:LDF::5t:-

x

y

u

8

(Xi — x ) 根据散点图判断：y= a

根据散点图判断：y= a + bx与y = c+孚哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费

ZY

y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由 ）

根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到

0.01）.

若该图书每册的定价为 10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于 78 840

元？（假设能够全部售出?结果精确到 1）

i = 1

8

(Xi — x )( yi —

i =1

7)

8

/ — \2

(Ui— u )

i =1

8

(Ui — u )( y —

i = 1

"y)

15.2

5

3.63

0.26

9

2 085.5

—230.3

0.787

7.049

O 5 10 IS 20 2S 3C 晦 10 15 60

8

表中ui

表中ui= *，"

u.

=1

附：对于一组数据（3 1 , Vi） , （ 3 2, V2），…，（3 n, Vn），其回归直线V= a +卩3的斜

n

3 i — 3 Vi — V

i = 1

率和截距的最小二乘估计分另U为 卩 , a = V 一卩 3

n

2

3 i 一 3

i =1

解：（1）由散点图判断，y= c+X更适合作为该图书每册的成本费 y（单位：元）与印刷数

X

量X（单位：千册）的回归方程.

1

（2）令u=-,先建立y关于u的线性回归方程,

X

8

Ui — u yi — y

7.049?8.957

7.049

?8.957 ?8.96 ,

0.787

由于d=

8

— 2 Ui — U

i =1

c= 7 — d ?匸=3.63 — 8.957 X 0.269 ?1.22 ,

y关于u的线性回归方程为y = 1.22 + 8.96 u,

a 8.96

? y关于-的回归方程为y= 1.22 + .

⑶假设印刷-千册，依题意得10

⑶假设印刷-千册，依题意得

10X — 1.22

8.96

-

-> 78.840

? x> 10,

至少印刷10 000册才能使销售利润不低于 78 840元.

（2019届高三?广州调研）某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜?根据过 去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周, 不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的 西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量 -（千克）之间的关系为如图所示的折线图.

千克

□

1

J

t

1

■

1

1

1

1

I

—1

'1

I || ■ >1 4

1

1

4 4

4

■ ■

*

■

■

*

■

■

A

V

6

2 4

￡

6

（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合 y与-的关系？请计算相关系数 r并加以

说明（精确到0.01）.（若| r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合

(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但 每周光照控制仪运行台数受周光照量 X限制，并有如下关系：

周光照量X(单位：小时)

30<X<50

50W XW 70

X>70

光照控制仪运行台数

3

2

1

若某台光照控制仪运行,行，则该台光照控制仪周亏损则该台光照控制仪周利润为 3 000元；若某台光照控制仪未运

若某台光照控制仪运行,

行，则该台光照控制仪周亏损

1 000元?以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最

大，应安装光照控制仪多少台?

附：相关系数公式参考数据：'0.3 ~解：(1)由已知数据可得

附：相关系数公式

参考数据：'0.3 ~

解：(1)由已知数据可得 x

2 + 4 + 5+ 6 + 8

=5,

3 + 4+ 4+ 4 + 5

5

=4.

2 2 2 2 丄2

—1 + 0 + 0 + 0 + 1 = ：2.

—3 2+ — 1 2+ 02+ 12+ 32= 2,： 5,

—2、,5X 2 —

y与x的关系.

所以相关系数

因为r>0.75，所以可用线性回归模型拟合

〔卜 0.95.

最多安装3台光照控制仪.(2)记商家周总利润为 Y元，由条件可知至少需安装

最多安装3台光照控制仪.

①安装1台光照控制仪可获得周总利润 3 000元.

②安装2台光照控制仪的情形:

当X>70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润 Y= 3 000 — 1 000 = 2 000（元），

10

RY= 2 000） = 50= 0.2 ,

当30<Xw 70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y= 2X 3 000= 6 000（元），P（Y

40

=6 000） = 50= 0.8 ,

故Y的分布列为

Y

2 000

6 000

P

0.2

0.8

所以 BY） = 2 000 X 0.2 + 6 000 X 0.8 = 5 200（元）.

③安装3台光照控制仪的情形：

当冷70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润 Y= 1X 3 000— 2X 1 000= 1

000（元）,

10

RY= 1 000） = = 0.2 ,

50

当50W XW 70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润 Y= 2X 3 000— 1X 1 000=

5 000（元）,

35

RY= 5 000） = 50= 0.7 ,

当30<X<50时，3台光照控制仪都运行，周总利润 Y= 3X 3 000= 9 000（元），P（Y= 9

5

000） = 50= °」，

故Y的分布列为

Y

1 000

5 000

9 000

P

0.2

0.7

0.1

所以 日 Y） = 1 000 X 0.2 + 5 000 X 0.7 + 9 000 X 0.1 = 4 600（元）.

综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装 2台光照控制仪.

40X 40X 32X 48

故有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.

⑵从乙班［70,80) , ［80,90) , ［90,100］分数段中抽取的人数分别为 2,3,2 ,

依题意随机变量 X的所有可能取值为0,1,2,3

3

2C40 60

解：(1)由已知得，所求概率 P= 1—7歹=

C80 79

5

因为 (Xi — 7)( yi - 7) = ( — 3) x ( — 1) + 0 + 0+ 0 + 3X 1= 6,

i = 1

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