7.1,复数概念及四则运算（解析版）

　 7.1 复数的概念及四则运算

　 1. 复数的概念；2. 复数的分类；3. 复数相等的条件；4. 复数与复平面内点的关系；5. 复数模的计算；6. 复数与平面向量的一一对应；7. 复数模的几何意义的应用；8. 复数的代数形式的加减运算；9. 复数加减法及复数模的几何意义；10. 复数代数形式的乘除法运算；11. 虚数单位的幂的周期性；12. 共轭复数；13. 复数代数形式的四则运算；14. 复数的综合应用.

　一、单选题 1．（2020·河南新乡县一中期末（文））1 32ii （

　）

　A．3 12 2i 

　B．3 12 2i 

　C．3 12 2i  

　D．3 12 2i  

　【答案】A 【解析】

　根据复数的除法运算法则，可得复数1 3 (1 3 ) 3 12 2 ( ) 2 2i i iii i i     . 故选：A. 2．（2020·河南平顶山·期末（文））已知复数 z满足4zi ＝i，则 z的虚部为（

　）

　A．4i B．4 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解析】

　由复数4zi ＝i，得2(4 ) 4 1 4 z i i i i i       ， 所以复数 z的虚部为 4 故选：B 3．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））若复数 z 满足 1 zi i   （ i 为虚数单位），则其共轭复数 z 的虚部为（

　 ）

　A． i 

　B． i

　C． 1 

　D． 1

　【答案】D 【解析】

　由 zi＝1﹣i，∴z＝  1 11·i i iii i i      ，所以共轭复数 z =-1+ i ，虚部为 1 故选 D． 4．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））复数12 z i   ，212z i   ，则1 2z z  （

　）

　A．52i 

　B．522i 

　C． 1 i 

　D．512i 

　【答案】A 【解析】

　21 21 1 5(2 ) 1 22 2 2z z i i i i ii           ． 故选：A． 5．（2020·湖北张湾·十堰东风高级中学月考）已知复数 z 满足 (1 ) z i i    ，则 z （

　）. A．22 B．1 C．2

　D．2 【答案】A 【解析】

　   1 11 1 1 2i i i izi i i       所以2 21 1 2| |2 2 2z             故选：A 6．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））在复平面内，复数21ii 对应的点位于（

　）

　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】

　在复平面内，复数21ii =   2 11+1 1i iii i  ∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A． 7．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））已知 i为虚数单位，复数 z满足   1 2 2 i z i    ，则 z z  (

　) A．4 B．2 C． 4 

　D． 2 

　【答案】A 【解析】

　  1 2 2 i z i    ，    2 1 1 2 221 1 1i i iz ii i i       ，2 z i   ，4 z z   . 故选:A. 8．（2020·河北枣强中学其他（文））已知复数21izi（ i 为虚数单位），则 z z  （

　）

　A．2

　B．2 C．1 D．12 【答案】B 【解析】

　由题意知2 221 2izi  ， 利用性质2z z z   ，得2 z z  ， 故选：B． 9．（2020·湖北襄城·襄阳四中其他（理））已知复数 ( )(1 2 ) ( ) z a i i a R     的实部为 3，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为（

　）

　A． 1 

　B． -i

　C． 1

　D． i

　【答案】A 【解析】

　【详解】

　( )(1 2 ) 2 (1 2 ) z a i i a a i        ， 2 3 1 a a    

　∴ 1 2 1 a   .

　故选：A. 10．（2020·江西期末（理））若复数22a izi为纯虚数（ a R  ，i 为虚数单位），则复数 1 z i   的虚部为（

　）

　A． 2i

　B．2 C． 3i

　D．3 【答案】B 【解析】

　      2 2 4 2 2 22 2 2 5 5a i i a a i ai i ii         为纯虚数,2 205a 且405a  , 解得 1 a  , z i   , 1 1 2 z i i      ,其虚部为 2. 故选：B. 二、多选题 11．（2020·江苏泰州·期末）已知复数 1 z i   （其中 i 为虚数单位），则以下说法正确的有（

　）

　A．复数 z 的虚部为 i

　B． 2 z 

　C．复数 z 的共轭复数 1z i   D．复数 z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【解析】

　因为复数 1 z i   ， 所以其虚部为 1 ，即 A错误； 2 21 1 2 z    ，故 B 正确； 复数 z 的共轭复数1 z i  ，故 C 正确； 复数 z 在复平面内对应的点为   1,1 ，显然位于第一象限，故 D正确. 故选：BCD. 12．（2020·江苏宿迁·期中）已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（

　）

　A．若1 2z z  ，则1 2 z z B．若1 2 z z，则1 2z z 

　C．若1 2z z  则1 2z z 

　D．若1 2z z  ，则1 2z z 

　【答案】BCD

　【解析】

　因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以 C、D两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如 1 1 i i    ，但是 1 1 i i    ，所以 B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以 A 项正确； 故选：BCD. 13.（2020·烟台市教育科学研究院期末）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（

　）

　A．若复数 z R  ，则 zR  B．若复数 z 满足2z R ，则 z R  C．若复数 z 满足1Rz ，则 z R 

　D．若复数1z ，2z 满足1 2z z R  ，则1 2z z 

　【答案】AC 【解析】

　A选项，设复数 ( , ) z a bi a b R    ，则 ( i , ) z a b a b   R ，因为 z R  ，所以 0 b，因此 za R  ，即 A正确； B 选项，设复数 ( , ) z a bi a b R    ，则  22 2 22 z a bi a b abi      ， 因为2z R ，所0 ab ，若0, 0 a b   ，则 zR  ；故 B 错； C 选项，设复数 ( , ) z a bi a b R    ，则2 2 2 2 2 21 1 a bi a biz a bi a b a b a b      ， 因为1Rz ，所以2 20ba b，即 0 b ，所以 z a R   ；故 C 正确； D选项，设复数1( , ) z a bi a b R    ，2( , ) z c di c d R    ， 则       1 2z z a bi c di ac bd ad bc i        ， 因为1 2z z R  ，所以0 ad bc   ，若11ab ，22cd  能满足 0 ad bc   ，但1 2z z  ，故 D错误. 故选：AC. 14．（2020·江苏镇江·期末）已知复数1 32 2i     （i 是虚数单位），  是  的共轭复数，则下列的结论正确的是（

　）

　A．2   B．31    C．21 0      D．   【答案】AC

　【解析】

　∵1 32 2i     所以1 32 2i    ， ∴21 3 3 1 34 2 4 2 2i i          ，故 A 正确， 3 21 3 1 3 1 312 2 2 2 4 4i i                      ，故 B 错误， 21 3 1 31 1 02 2 2 2i i            ，故 C 正确， 虚数不能比较大小，故 D错误， 故选：AC . 三、填空题 15．（2020·北京平谷·期末）已知复数2 iiz ，那么 | | z  ________ 【答案】

　5

　【解析】

　因为222 21 2i i iz ii i      ， 所以 |z| 5  ． 故答案为：

　5

　16．（2020·湖北张湾·车城高中月考（理））已知复数 z 满足   1 1 i z i    （ i 为虚数单位），则 z 的实部为______． 【答案】22 【解析】

　  1 1 i z i    ，   1 2 1 2 2 21 1 1 1 2 2i iz ii i i i         ， z  的实部为22.

　故答案为：22. 17．（2020·江苏南通·其他）已知复数 z的实部为 0，且满足   1 4 i z a i    ，其中 i 为虚数单位，则实数 a的值是________. 【答案】

　4 . 【解析】

　设 z bi  ， b R  . 由   1 4 i bi b bi a i      ，得 4 b ， 4 a b    . 故答案为：

　4 . 四、双空题 18．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）1 32izi，则 z 的共轭复数 z  _______， z z  _______. 【答案】

　1 i 

　 2

　 【解析】

　2 21 3 (1 3 )(2 ) 2 6 312 2 1 5i i i i iz ii          ， 所以1 z i  ， 2 21 1 2 z z    ， 故答案为：

　1 i  ； 2 . 19．（2020·浙江高三其他）已知复数 1 z a ai    （ a R  ， i 为虚数单位），若 z 为纯虚数，则 a  ______，z  ______. 【答案】-1

　1

　 【解析】

　复数 1 z a ai    （ a R  ， i 为虚数单位）为纯虚数，则 1 0 a   且 0 a  ，故 1 a ， 1 z  . 故答案为：-1，1. 20．（2020·浙江高三开学考试）已知复数 z ：满足 1 ) 3 i z i    （ （ i 为虚数单位），则复数 z 的实部为①________， z  ②________. 【答案】

　2

　 5

　【解析】

　因为复数 z 满足 1 ) 3 i z i    （ ， 所以  3 1 ) 321 1 1 )i i iz ii i i       （（， 所以  23 1 ) 32 1 51 1 1 )i i izi i i        （（. 故答案为：① 2 ；② 5

　21．（2020·浙江杭州·高三三模）已知 , a bR ，复数 z a i   且 11zbii （ i 为虚数单位），则 ab__________， z  _________． 【答案】

　6 ab

　10 z 

　【解析】

　∵复数 z a i   且 11zbii  ∴( )(1 ) ( 1) ( 1)11 2 2a i a i i a a ibii         ∴112{12aab  ∴3{2ab  ∴ 6 ab ，2 23 ( 1) 10 z    

　故答案为 6  ， 10

　五、解答题 22．（2020·江苏宿迁·期中）已知复数    2 23 18 3 , z m m m m i m R       ，其中 i 为虚数单位. （1）若复数 z 是实数，求实数 m 的值； （2）若复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值. 【答案】（1）

　0 或 3 ；（2）

　6  . 【解析】

　（1）若复数 z 是实数，则23 0 m m  

　所以 0 m 或 3 m . （2）若复数 z 是纯虚数，则223 03 18 0m mm m     所以 6 m . 23．（2020·西安市长安区第五中学月考（文））如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求：

　(1) , AO BC 所表示的复数； (2)对角线 CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数． 【答案】(1) －3－2i

　 (2) 5－2i

　 (3) 1＋6i 【解析】

　(1) AOOA  ，所以 AO 所表示的复数为－3－2i. 因为 BCAO ，所以 BC 所表示的复数为－3－2i. (2) CAOA OC  ，所以 CA 所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3) OBOA OC  ，所以 OB 所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即 B 点对应的复数为 1＋6i. 24．（2020·湖北张湾·车城高中月考（理））已知复数 2262 153m mz m m im    （ i 是虚数单位）

　（1）复数 z 是实数，求实数 m 的值； （2）复数 z 是虚数，求实数 m 的取值范围； （3）复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值. 【答案】（1）

　5 m ；（2）

　5 m 且 3 m  ；（3）

　3 m 或 2 .

　【解析】

　（1）复数 z 是实数，则22 15 03 0m mm    ， 解得 5 m ； （2）复数 z 是虚数，则22 15 03m mm    ， 解得 5 m 且 3 m  ； （3）复数是纯虚数，则226 032 15 0m mmm m      ， 解得 3 m 或 2 ． 25．（2020·江苏徐州·期末）复数      21 5 2 6 15 z i m i m i       ． （1）实数 m取什么数时，z是实数； （2）实数 m取什么数时，z是纯虚数； （3）实数 m取什么数时，z对应的点在直线 7 0 x y    上． 【答案】（1）

　5 m 或 3  ；（2）

　2 m ；（3）12m  或 2 

　【解析】

　复数2 2 2(1 ) (5 2 ) (6 15 ) ( 5 6) ( 2 15) z i m i m i m m m m i             ． （1）由22 15 0 m m   ，解得 5 m 或 3  ． 5 m   或 3  时，复数 z 为实数． （2）由225 6 02 15 0m mm m     ，解得 2 m ． 2 m   时，复数 z 为纯虚数． （3）由2 2( 5 6) ( 2 15) 7 0 m m m m        ． 化为：22 3 2 0 m m   ， 解得12m  或 2  ． 12m   或 2  ， z 对应点在直线 7 0 x y    上．

　26．（2020·河南郑州·期中（文））已知    21 216 2= 10 , 2 5 , ,5 1z a i z a i a R ia a      为虚数单位.若1 2z z 是实数. （1）求实数 a 的值； （2）求1 2z z  的值. 【答案】（1）3；（2）

　3 i   . 【解析】

　（1）

　 2116105z a ia  ，  222 51z a ia  ，        2 21 216 2 16 210 2 5 2 5 105 1 5 1z z a i a i a a ia a a a                    由题意知1 2z z 为实数， ∴   22 5 10 0,5 0,1 0,a aaa      ，解得 3 a . （2）当 3 a 时，12 z i   ，21 z i    ， 12 z i   ，

　则   1 22 1 3 z z i i i        . 27．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））已知复数 1 i z   ，i 为虚数单位．   1 设23 4 w z z   ，求 w ；   2 若3i2 iaz  ，求实数 a 的值. 【答案】（1）

　2   ；（2）

　3 a

　【解析】

　（1）由复数 1 z i   ，得 1 z i   ． 则  2 23 4 (1 ) 3 1 4 1 2 1 3 3 4 1 z z i i i i i                  ， 故2 2( 1) ( 1) 2       ； （2）    31 11 1 1 2a i i a i a i a ai iz i i i          

　1 122 2a ai i     ， 由复数相等的充要条件得：

　122112aa    ， 解得 3 a ．

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