6.1,平面向量及其线性运算（解析版）

　6.1 平面向量及其线性运算

　 1. 向量相等、向量共线的概念；2. 向量相等或共线；3. 向量的几何表示；4. 向量的加法及几何意义；5. 三角形法则下的向量加减法运算；6. 利用已知向量表示其他向量；7. 向量加减法的综合运用；8. 向量的线性运算；9. 共线向量定理及其应用；10. 用向量的线性运算表示未知向量；11. 单位向量的应用；12. 三点共线的判定与性质.

　一、单选题 1．（2020·全国课时练习）下列说法正确的是（

　）

　A．若 a b r r，则 a b  或 ab  r r B．若 a 、 b 为相反向量，则0 a b   C．零向量是没有方向的向量 D．若 a 、 b 是两个单位向量，则 a b 

　【答案】B 【解析】

　对选项 A，若 a b r r，只能表示 a 和 b 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A错； 对选项 B，若 a 、 b 为相反向量，则它们的和为零向量，故 B 对； 对选项 C，零向量的方向是任意的，故 C 错； 对选项 D，两个单位向量只是模都为 1，但方向不一定相同，故 D错． 故选：B 2．（2020·安徽庐江·期末）已知向量 a 与 b 共线，下列说法正确的是（

　）

　A． a b  或 a b r r B． a 与 b 平行 C． a 与 b 方向相同或相反 D．存在实数  ，使得λ a b = 【答案】B 【解析】

　 向量 a 与 b 共线，不能判定向量模之间的关系，故 A错； 向量 a 与 b 共线，则 a 与 b 平行，故 B 正确； a 为零向量，则满足 a 与 b 共线，方向不一定相同或相反；故 C 错； 当0 a r r，0 b 时，满足 a 与 b 共线，但不存在实数  ，使得λ a b =，故 D错. 故选：B. 3．（2020·全国课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（

　）

　①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若 ab ，则 | | | | a b  ； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】

　零向量与它的相反向量相等，①错； 由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形 ABCD 中，/ / AB CD ，且 = AB CD ，但 ABCD ，故③错； a b ，可能两个向量模相等而方向不同，④错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错． 故选：B． 4．（2020·孝义市第二中学校期末）下列命题正确的是（

　）

　A．若向量// a br r，则 a 与 b 的方向相同或相反 B．若向量// a br r，// b c ，则 // a c

　C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

　 D．若向量 a b  ， bc ，则 ac  【答案】D 【解析】

　对于 A选项，向量// a br r，可能0 b ，此时不能得到 a 与 b 的方向相同或相反，故 A选项错误. 对于 B 选项，向量// a br r，// b c ，可能 0 b ，此时不能得到// a c ，故 B 选项错误. 对于 C 选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故 C 选项错误. 对于 D选项，根据向量相等的知识可知 D选项正确. 故选：D 5．（2020·山西期末（理））下列关于向量的概念叙述正确的是（

　）

　A．方向相同或相反的向量是共线向量 B．若/ / a b ， / / b c ，则 / / a c

　C．若 a 和 b 都是单位向量，则 a b  D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 【答案】A 【解析】

　由向量共线的定义可知，A正确； 当0 b 时，可知 B 不正确； 单位向量，方向不确定，故 C 不正确； 向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故 D不正确. 故选：A 6．（2020·全国课时练习）已知向量 a ､ b ，且 AB = a +2 b ， BC

　=-5 a +6 b ， CD

　=7 a -2 b ，则一定共线的三点是（

　）

　A．A､B､D B．A､B､C C．B､C､D D．A､C､D 【答案】A 【解析】

　 A.因为  3 6 3 2 3 AD AB BC CD a b a b AB         ，所以 A､B､D共线； B.因为 BCAB  ，所以 A､B､C 不共线； C.因为 BCCD  ，所以 B､C､D不共线； D.因为 ADCD  ，所以 A､C､D不共线； 故选：A 7．（2020·吉林扶余市第一中学期中）下列说法中正确的是（

　）． A．零向量没有方向 B．平行向量不一定是共线向量 C．若向量 a 与 b 同向且 ab  ，则 ab  D．若向量 a ， b 满足 a b  且 a 与 b 同向，则 a b 

　【答案】C 【解析】

　对于 A，零向量的方向是任意的，故 A错误； 对于 B，平行向量就是共线向量，故 B 错误； 对于 C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确； 对于 D，两个向量不能比较大小，故 D错误． 故选：C． 8．（2020·广西河池·期末）已知 P 是 ABC 所在平面内一点，若 CB PB PA CP    ，其中 R   ，则点 P 一定在（

　）

　A． AC 边所在直线上 B． AB 边所在直线上 C． BC 边所在直线上 D． ABC 的内部 【答案】B 【解析】

　因为 CBPB PA CP     ， 所以 ( ) CB CP PA PB     ， 所以 PBBA  ，

　 所以点 P 在 AB 边所在直线上． 故选：B 9．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））

　ABC 中，点 D 在 AB 上， CD 平分 ACB  ．若 CBa ，CA b ， 1  a ， 2 b  ，则 CD  （

　 ）

　A．1 23 3a b 

　B．2 13 3a b 

　C．3 45 5a b 

　D．4 35 5a b 

　【答案】B 【解析】

　如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，

　∴BDDA＝CBCA＝12， ∴ BD ＝13BA ＝13( CA － CB )＝13

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