专题39,数列中探索性问题（原卷版）

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　专题 39

　数列中的探索性问题 数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：

　①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．

　一、题型选讲 题型一 、 数列中项存在的问题

　例 1、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列  na 的前 n 项和为2 5 4, 12, 16nS a a S    ． (1)求  na 的通项公式； (2)数列  nb 满足14 1n nnb TS，为数列  nb 的前 n 项和，是否存在正整数 m，   1 k m k   ，使得23k mT T  ?若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由．

　例 2、（江苏省响水中学 2020 年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n nT b   ；②24 2S S  ，且112 ( )2nnT  这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答． 已知数列  na 是公差不为 0 的等差数列，11 a  ，其前 n 项和为nS ，数列  nb 的前 n 项和为nT ，若

　 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求数列  na ，  nb 的通项公式； （2）求数列nnab   的前 n 项和nQ ． （3）设等比数列 { }nc 的首项为2，公比为 ( 0) q q  ，其前 n 项和为nP ，若存在正整数 m ，使得3 3 mS S P   ，

　 2 求 q 的值.

　 例 3、(2018 无锡期末）已知数列{a n }满足 1－1a 1 1－1a 2·…· 1－1a n＝1a n ，n∈N* ，S n 是数列{a n }的前 n 项和． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若 a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数 p，q 的值； (3) 是否存在 k∈N * ，使得 a k a k ＋ 1 ＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的 k 的值；若不存在，请说明理由．

　题型二、 数列中的等差数列或者等比数列的存在问题 例 4、（河北省衡水中学 2021 届上学期高三年级二调考试）已知正项数列} {na的前 n 项和为nS,11 a,1212  n n nS a S ，其中  为常数． (1)证明：

　. 21   n nS S

　(2)是否存在实数  ，使得数列  na 为等比数列？若存在，求出  的值；若不存在，请说明理由．

　 3 例 5、(2018 扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 2S n ＝a 2 n ＋a n ，数列{b n }满足 b 1 ＝12 ，2b n ＋ 1 ＝b n ＋b na n . (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 设数列{c n }满足 c n ＝ bn ＋ 2S n，求和 c 1 ＋c 2 ＋…＋c n ； (3) 是否存在正整数 p，q，r(p<q<r)，使得 b p ，b q ，b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 p，q，r；若不存在，请说明理由．

　 题型三、 数列中的参数的问题 例 6、 （恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中

　襄阳三中）在① } {b n 为等比数列， 11 2 2,3 b a b a   ,②} {b n 为等差数列，2 2 1 14 , 2 a b a b   ,③ } {b n 为等比数列， 4 , 22 2 1 1    a b a b。

　这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。

　已知数列  na 满足 2 * 3 1 22 3... N2 2 2 2nna a a an n       ,数列  nb 满足____________,nS 为数列nnab   的前 n项和,是否存在正整数 k ,使得 2020kS  成立?若存在,求出 k 的最小值；若不存在,请说明理由。

　例 7、【2020 年高考江苏】已知数列   ( )na n*N 的首项 a 1 =1，前 n 项和为 S n ．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有1 111 1kk kn n nS S a   成立，则称此数列为“λ～k”数列． （1）若等差数列  na是“λ～1”数列，求 λ 的值； （2）若数列  na是“3~23”数列，且 0na  ，求数列  na的通项公式； （3）对于给定的 λ，是否存在三个不同的数列  na为“λ ～ 3”数列，且 0na  ？若存在，求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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　 二、达标训练

　1、【2020 年高考山东】已知公比大于 1 的等比数列 { }na 满足2 4 320, 8 a a a    ． （1）求 { }na 的通项公式； （2）记mb 为 { }na 在区间*(0, ]( ) m mN中的项的个数，求数列 { }mb 的前 100 项和100S ．

　2、 （徐州一中、兴化中学 2021 届两校联合第二次适应性考试）在①2 2 43 0 a b b   ，②4 4a b ，③327 S  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的  存在，求实数  的取值范围；若问题中的  不存在，请说明理由. 设等差数列  na 的前 n 项和为nS ，数列  nb 的前 n 项和为nT ， ___________，5 1a b  ， 4 3 1n nT b  (*nN )，是否存在实数  ，对任意*nN 都有nS   ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

　 3、 （湖南师大附中 2021 届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列 } {na 满足 13  a ， 47 a ，前 6 项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列． (1)求数列 } {na 的通项公式； (2)求出所有的正整数 m ，使得 .2 1 2 1      m m m m m ma a a a a a

　4、(2019 扬州期末）记无穷数列{a n }的前 n 项中最大值为 M n ，最小值为 m n ，令 b n ＝ Mn ＋m n2，数列{a n }的前 n 项和为 A n ，数列{b n }的前 n 项和为 B n . (1) 若数列{a n }是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求 B n . (2) 若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．

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