专题38,数列中通项公式（原卷版）

　 1

　专题 38

　数列中的通项公式

　 一、题型选讲 题型一 、由S an n 与的关系求通项公式 例 1、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知数列  na 的前 n 项和nS 满足     2 1n nS n a n N  ，且12 a  . 求数列  na 的通项公式；

　例 2、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列  na 满足1 ,a2 ,a3 1a a  成等差数列，且1 3 4a a a  ；等差数列  nb 的前 n 项和2( 1)log2nnn aS .求：

　（1）

　,nanb ；

　例 3、（2020 届山东省德州市高三上期末）已知数列  na 的前 n 项和为nS ，且 0na  ，24 2n n nS a a   .求数列  na 的通项公式；

　 题型二、由a an n与1 的递推关系求通项公式

　 2 例 3、【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足 a 1 =1，b 1 =0，14 3 4n n na a b   ，14 3 4n n nb b a   . （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.

　 例 4、（2020 届山东省德州市高三上期末）对于数列  na ，规定  na  为数列  na 的一阶差分数列，其中 *1 n n na a a n   N，对自然数   2 k k  ，规定  kna 为数列  na 的 k 阶差分数列，其中1 11k k kn n na a a    .若11 a  ，且  2 *12 nn n na a a n     N，则数列  na 的通项公式为（

　）

　A．2 12 nna n 

　B．12 nna n 

　C．  21 2 nna n  

　D．  12 1 2 nna n  

　例 5 、【 2019 年 高 考 天 津 卷 理 数 】

　设  na 是 等 差 数 列 ，  nb 是 等 比 数 列 ． 已 知1 1 2 2 3 34, 6 2 2, 2 4 a b b a b a       ， ． （Ⅰ）求  na 和  nb 的通项公式； （Ⅱ）设数列  nc 满足111, 2 2, 2,1,,k knkkcncb n   其中*kN ． （i）求数列   2 21n na c  的通项公式；

　题型三、新定义题型中通项公式的求法

　 3 例 6、【2020 年高考江苏】已知数列   ( )na n*N 的首项 a 1 =1，前 n 项和为 S n ．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有1 111 1kk kn n nS S a   成立，则称此数列为“λ～k”数列． （1）若等差数列  na是“λ～1”数列，求 λ 的值； （2）若数列  na是“3~23”数列，且 0na  ，求数列  na的通项公式；

　例 7、【2019 年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第 i 1 项、第 i 2 项、…、第 i m 项（i 1 <i 2 <…<i m ），若1 2 mi i ia a a   ，则称新数列1 2 mi i ia a a  ， ， ，为{a n }的长度为 m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为 1 的递增子列． （1）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列； （2）已知数列{a n }的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为0na ．若 p<q，求证：0ma <0na ； （3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s–1，且长度为 s 末项为 2s–1 的递增子列恰有 2 s-1 个（s=1，2，…），求数列{a n }的通项公式．

　 二、达标训练

　1、（2020 届浙江省温州市高三 4 月二模）已知数列  na 满足：1 2 12 5 1, 6nnnaa a a n  …  * n N  )若正整数   5 k k  使得2 2 21 2 1 2 k ka a a aa a     成立，则 k  （

　）

　A．16 B．17 C．18 D．19

　 4 2、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列  na 的前 n 项和为nS ，且21nS n n    ，在正项等比数列  nb 中2 2b a  ，4 5b a  ． 求  na 和  nb 的通项公式；

　3、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知数列     ,n na b 满足：1 11 2 , , 2n n n na a n b a n b      . （1）证明数列  nb 是等比数列，并求数列  nb 的通项；

　 4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列  na 的各项均为正数，对任意*nN ，它的前 n 项和nS 满足   11 26n n nS a a    ，并且2a ，4a ，9a 成等比数列.求数列  na 的通项公式；

　 5、（2020 届山东师范大学附中高三月考）设等差数列 { }na 前 n 项和为nS ，满足4 24 S S  ，917 a  . （1）求数列 { }na 的通项公式； （2）设数列 { }nb 满足1 21 2112nnnb b ba a a     …，求数列 { }nb 的通项公式

　 5 6、（2020·浙江温州中学 3 月高考模拟）已知各项均为正数的数列  na 的前 n 项和为nS ，且11 a  ，1 n n na S S  （ * n N  ，且 2 n  ）求数列  na 的通项公式；

　7、【2019 年高考浙江卷】设等差数列 { }na 的前 n 项和为nS ，34 a  ，4 3a S  ，数列 { }nb 满足：对每个1 2, , ,n n n n n nn S b S b S b     N 成等比数列． （1）求数列 { },{ }n na b的通项公式；

　 8、【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n } ( ) nN 满足：2 4 5 1 3 2, 4 4 0 a a a a a a     ，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n } ( ) nN 满足: 111 2 21,n n nbS b b  ，其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；

推荐访问:数列 公式 专题