大理州2021届高中毕业生第二次复习统一检测（文科）

　 秘密★启用前

　【考试时间：11 月 12 日

　15∶00 — 17∶00】

　大理州 2021 届高中毕业生第一次复习统一检测 文科数学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 考生注意：

　1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

　2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

　3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

　第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）

　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2   x x A，   lg( 1) B x y x    ∣ ,则  B A （

　）

　A．   1 2 x x   ∣

　B．   1 2 x x   ∣

　C．   2 x x ∣

　D．   2 x x ∣

　2. 设复数23i1 iz  ，则 z 在复平面中对应的点为（

　）

　A.   1,4

　B.   2,5

　 C.   4,1

　D.   5,2

　3．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续 9 期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这 9 期的成绩，则下列说法正确的是（

　）

　A．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数

　 B．乙成绩的极差为 40 C．甲乙两人成绩的众数相等 D．甲成绩的中位数为 32 4.已知 1 a  ， =(0,2) b ，且 1a b  ，则向量 a 与 b 夹角的大小为(

　 ) A．6 B．4 C．3 D．2 5.已知2 . 02  a， 2 . 0 log 2  b ， 2 log2 . 0 c ，则 , , a b c 的大小关系为（

　 ）

　A． a b c  

　B． ba c  

　 C． c b a  

　 D． a c b  

　6.记nS 为等比数列  na 的前 n 项和．若 , 24 , 124 6 3 5    a a a a ，则 nnaS（

　 ）

　A. 1 2 n

　B. n 12 2

　C. 12 2n

　D. 1 2 1 n 7. 为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究. 当地有一座山，高度为 OT，同学们先在地面选择一点 A，在该点处测得这座山在西偏北 21.7 o 方向，且山顶 T 处的仰角为；然后从 A 处向正西方向走 140 米后到达地面 B 处，测得该山在西偏北 81.7 o 方向，山顶 T 处的仰角为 60 o . 同学们建立了如图模型，则山高 OT 为（

　）

　A. 20 7 米

　B. 25 7 米 C. 20 21 米 D. 25 21 米

　 8.曲线 y＝2x 2 -4x-1 的一条切线 l 与直线 x+4y-3＝0 垂直，则切线 l 的方程为

　（

　）

　A．4x-y-9＝0

　B．x+4y-9＝0

　 C．4x-y-7＝0

　D．x+4y-7＝0

　 9.已知四面体 A-BCD 所有顶点都在球 O 的球面上，且 AB⊥平面 BCD，若 AB＝2，∠BCD＝120°，BC＝CD＝1，则球 O 的表面积为

　（

　）

　A．4π

　B．6π

　C．8π

　D．12π 10.执行如图所示的程序框图,如果输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为（

　）

　A. 10 B. 15

　C. 18 D. 21

　11.已知函数 ( ) sin 3cos ( 0) f x x x       的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数 ( ) f x 的图象沿 x 轴向右平移π6个单位，得到函数 ( ) g x 的图象，则函数 ( ) g x （

　）

　A．函数 ( ) g x 是偶函数

　B．其图象关于直线π2x  对称 C．在π π,4 2   上是增函数

　 D．在区间π 2π,6 3   上的值域为 3,2  

　12.设抛物线28 y x  的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与抛物线交于点 A ， B ，与圆2 24 3 0 x y x     交于点, P Q ，其中点 A ， P 在第一象限，则 2| | | | AP QB 的最小值为（

　）

　A． 2 2 3 

　 B． 2 2 5 

　C． 4 25 

　 D． 4 23 

　 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）

　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.在区间1 1[ , ]2 2 上任取一个数 k，使直线 ( 3) y k x   与圆2 21 x y   相交的概率为______ 14.已知双曲线2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的离心率为2 ，则点 (4,0) 到 C 的渐近线的距离

　 为_______ 15.已知函数 ,0 , 20 , log) ( 31** ** fx若 f(a)> 12 ，则实数 a 的取值范围是__________． 16.如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，点 P 在线段1AB 上移动，有下列判断：①平面/ / BDP 平面1 1BDC ；②平面1PAC  平面1 1BDC ；③三棱锥1 1P BDC  的体积不变；④1PC  平面1 1BDC ．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）

　三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．

　17.在 ABC  中， C B A , , 所对的边分别是 c b a , , ，且满足 c b C B a    ) cos (cos ，

　 (Ⅰ) 求证：角2 A

　（Ⅱ）若 ABC  外接圆的半径为 1，求 ABC  周长的取值范围.

　 18. 如图甲，在 ABC  中， AB BC  ， 6 AB  ， 3 BC  ， D ， E 分别在 AC ， AB 上，且满足 2AE ADBE DC  ，将 ADE  沿 DE 折到 PDE  位置，得到四棱锥  P BCDE ，如图乙．

　（1）已知 M ， N 为 PB ， PE 上的动点，求证：

　MN DE  ； （2）在翻折过程中，当   60 PEB时，求四棱锥BCDE P的体积。

　19.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入 x （亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：

　序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

　2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 017 x  时，建立了y与 x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.1 11.8 y x  ；模型②：ˆ 21.3 14.4 y x  ；当17 x 时，确定y与 x 满足的线性回归方程为ˆ 0.7 y x a   ． （Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当 017 x  时模型①、②的相关指数2R的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为 17 亿元时

　 的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 ˆ 4.1 11.8 y x   ˆ 21.3 14.4 y x    721ˆi iiy y 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数  22121ˆ1ni iiniiy yRy y ，17 4.1 ）

　（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴 5 亿元，以回归方程 为预测依据，比较科技升级投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小． （ 附 ：

　用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程ˆˆ ˆ y bx a  的 系 数 ：   1 122 21 1ˆn ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx nx x x         ，ˆây bx  ）

　 20.设函数2( ) cos , ( )sinaf x x x g **   ． （1）当 [0, ] x   时，判断 ( ) f x 的单调性； （2）若当 ,6 2x     时，不等式 ( ) ( ) f x g x … 有解，求证：24a„ ．

　21.已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yC a ba b    的两个焦点为1F ，2F ，焦距为 2 2 ，直线 : 1 l y x   与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，3 1( , )4 4P  为弦 AB 的中点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线: l y kx m  与椭圆 C 相交于不同的两点 M ， N ， (0,) Q m ，若3 ( OM ON OQ O   uuur uuur uuur为坐标系原点)，求 m 的取值范围．

　 请考生在第 22、23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）

　以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为 , sin 8 cos 4      P 是1C 上一动点，, 2OQ OP，点 Q 的轨迹为2C ． （1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （2）若点 ) 1 , 0 ( M ，直线 l 的参数方程为 sin 1cost yt x（ t 为参数）直线 l与曲线2C 的交点为 A，B，当 MB MA 取最小值时，求直线 l的普通方程．

　23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）

　已知函数 2 2 4 2 ) (     x x x f ． （1）求不等式 4 ) (  x f 的解集； （2）记 ) (x f 的最大值为 m ，设 0 , ,  c b a ，且 m c b a    3 2 ，证明 .233121 1  c b a

　 大理州 2021 届第二次统测文科数学 参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D C D B C A C B D D 12.因为圆的方程为2 24 3 0 x y x     即为2 2( 2) 1 x y    ，所以圆心 (2,0) ，半径 1 R ， 因为 2| | | | 2(| | ) (| | ) AP QB AF R BF R      ，所以 2| | | | 2| | | | 3 AP QB AF BF     ， 因为 | | 22A ApAF x x     ， | | 22B BpBF x x     ，所以 2| | | | 2 3A BAP QB x x     ， 设 : 2 l x my   ，所以228x myy x  ，整理得2 2(4 8 ) 4 0 x m     ，所以 4A Bx x  ， 则 2| | | | 2 3 2 3 4 2 3A B A BAP QB x x x x        … ，当 2Ax  ， 2 2Bx  时取等号 故选:D． 二、填空题 13、 22

　 14、 2 2

　 15、 )33, 1 (

　 16、①②③

　三、解答题 解：(Ⅰ)边换角 C B C B A sin sin ) cos (cos sin    ) sin( ) sin( ) cos (cos sin B A C A C B A      展开得C A B A C A C A C A B A sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin      整理得0 ) sin (sin cos   B C A 即0 cos  A 2 A ………………………………………………………………………………6 分

　 （Ⅱ）周长 2 sin 2 sin 2 2       C B c b C 2 )2sin( 2 sin 2     B B 2 )4sin( 2 2   B ∵ 20  B

　∴ 434 4     B

　 ∴ 1 )4sin(22  B

　∴ 2 2 )4sin( 2 2 2   B

　∴周长的范围是] 2 2 , 2 ( ………………………………………………………………6 分

　18、由已知数据可得2 4 5 6 855x     ，3 4 4 4 545y     .所以相关系数 515 52 21 1( )( ) ( )i iii ii ix x y yrx x y y     6 90.9510 2 5 2  . 因为 0.75 r  ，所以 y 与 x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.……………………………………6 （2）由（1）可知 51521( )6 32ˆ0 10( )i iiiix x y ybx x   ，3 54 ˆ2ˆ510a y bx       ， 所以 y 与 x 之间线性回归方程为3 510 2ˆ yx   . 当 7 x  时，3 57 610 2ˆ 4. y    .……………………………………12

　 19.【详解】（I）证明：在图甲中， ∵ 2AE ADBE DC  ，∴ // DE BC ，

　 又∵ AB BC  ，∴ DE BE  且 DE AE  ， 即在图乙中， DE BE  ， DE PE  ，又 BE PE E   ， 故有 DE  平面 PBE ， 而 MN  平面 PBE ，故有 MN DE  ；………………………6 分 （II）在 PBE △ 中， 2 BE  ， 4 PE ， 60 PEB    ， 由余弦定理，可知2 3 PB ，满足2 2 2PB BE PE  ，则有 PB BE  ， 由（1）知， BC ⊥ 平面 PBE ，则 PBBC ， BCDE PB B BC BE 平面    

　PB S VBCDE BCDE P   梯形31

　， 52  BEED BCSBCDE 梯形 33 103 2 531   BCDE PV………………………12 分

　 20、解：（1）

　( ) 2 sin f x x x    ，

　 2 分 令 ( ) 2 sin h x x x   ， 当 [0, ] x   时， ( ) 2 cos 0 h x x     ，

　4 分 所以当 [0, ] x   时， ( ) 2 sin h x x x   单调递增；

　5 分 所以当 [0, ] x   时， ( ) 2 sin 0 f x x x    … ， 所以当 [0, ] x   时，2( ) cos f x x x   单调递增．

　 6 分

　 （2）因为当 ,6 2x     时，不等式 ( ) ( ) f x g x … 有解， 所以当 ,6 2x     时，不等式 sin ( ) a x f x  „ 有解，

　7 分 令 ( ) sin ( ) k x x f x   ，所以 ( ) cos ( ) sin ( ) k x x f x x f x       ，

　8 分 因为当 ,6 2x     时， cos 0, ( ) 0,sin 0, ( ) 0 x f x x f x      ， 所以 ( ) 0 k x   ，所以 ( ) k x 单调递增，

　 10 分 所以2( )2 4k x k     „ ，所以24a„ ．

　12 分 21、解：

　(1)设1( A x，1 )y，2( B x，2 )y，2 21 12 22 22 22 211x ya bx ya b  ，两式相减可得 2 2 2 21 2 1 22 20x x y ya b  ，-(2 分) 可得21 2 1 221 2 1 2y y x x bx x y y a    ，由题意可得1 21 21y yx x，1 2324x x    ，1 212 ( )4y y     ， 所以可得2213ba ，…………………………(4 分) 而由题意可得 2 2 2 c  ，2 2 2b a c   ，解得：23 a  ，21 b  ， 所以椭圆的方程为：2213xy   ；…………………………(5 分) (2)设1( M x ，1 )y ，2( N x ，2 )y ， 联立直线与椭圆的方程：2213y kx mxy   ，整理可得：2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0 k x kmx m      ， △2 2 2 236 4 (1 3 )(3 3) 0 k m k m       ，可得2 23 1 m k   ①， 且1 2261 3kmx xk  ，21 223 31 3mx xk，…………………………(7 分) 因为 3 OM ON OQ   uuur uuur uuur，可得 M ， N ， Q 三点共线，所以13 3OQ OM ON uuur uuur uuur， 所以113 3  ，解得：

　2   ，且1 21 203 3x x   ，可得1 22 x x   ，……………………(9 分)

　 将1 22 x x   ，代入两根之和及两根之积可得：2261 3kmxk，22223 321 3mxk ， 所以222 26 3 32 ( )1 3 1 3km mk k   ，整理可得22213 09 1mkm… ②，………………………(10 分) ①②联立可得22211 09 1mmm  ，整理可得2 2 2(1 )(9 1) 0 m m m    ， 解得2119m   ，解得：113m   或113m   

　所以 m 的取值范围：1{ | 13m m   或11 }3m     ．…………………………(12 分)

　22.解：

　Ⅰ 根据题意，设点 P，Q的极坐标分别为 、 ， 则有 ，故曲线 的极坐标方程为 ， 变形可得：

　， 故 C 的直角坐标方程为 ，即 ； Ⅱ 设点 A，B 对应的参数分别为 、 ，则 ， ， 设直线 l 的参数方程 ， 为参数 ， 代入 的直角坐标方程 中， 整理得 ． 由根与系数的关系得 ， ， 则， 当且仅当 时，等号成立，

　 此时 l 的普通方程为 ．

　 23.解：． ， ， ， 不等式的解集为 ． 由 知， 的最大值为 6， ，

　， 当且仅当 ，即 时等号成立， ．

　...

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