放缩法证明数列不等式,学生

　 放缩法证明数列不等式

　2020.03 一、基础知识：

　在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：

　（1）传递性：若 , a b b c   ，则 a c  （此性质为放缩法的基础，即若要证明 a c  ，但无法直接证明，则可寻找一个中间量 b ，使得 a b  ，从而将问题转化为只需证明 b c  即可 ）

　（2）若 , a b c d   ，则 a c b d    ，此性质可推广到多项求和：

　若      1 21 , 2 , ,na f a f a f n    ，则:      1 21 2na a a f f f n       

　 （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若 0, 0 a b c d     ，则 ac bd  ，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：

　（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

　① 等差数列求和公式：12nna aS n  ，na kn m   （关于 n 的一次函数或常值函数）

　② 等比数列求和公式：  1111nna qS qq ，nna k q   （关于 n 的指数类函数）

　③ 错位相减：通项公式为“等差  等比”的形式 ④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

　① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

　③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

　④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

　（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

　① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

　② 等比数列：所面对的问题通常为“nS  常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足  0,1 q  ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11aq 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数122=1314，即可猜想该等比数列的首项为12，公比为14，即通项公式为124n    。

　注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题：

　① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即  1 n na a f n  或  1 nnaf na （累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为na ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形：

　（1）   21 1 11 1 n n n n n  ，其中 2, n n N   ：可称21n为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。

　注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：  2 21 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 n n n n n n          ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：

　  2 221 1 4 1 1 1 114 1 2 1 2 1 2 2 1 2 14n n n n n nn           （2）1 2n n n，从而有：   2 1 22 1 2 11 1n n n nn n n n n           注：对于1n还可放缩为：12, 2, n n n n Nn    

　（3）分子分母同加常数：

　    0, 0 , 0, 0b b m b b mb a m a b ma a m a a m          此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。

　（4）         1212 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 1n n n nn n n n n nn       

　 11 12,2 1 2 1n nn n N     可推广为：         1211 1 1 1 11n n n nn n n n n nnk k k kk k k k k k kk       

　 11 12, 2, ,1 1n nn k k n Nk k      二、典型例题：

　例 1：已知数列  na 的前 n 项和为nS ，若  14 2 1 1n nS n a   ，且11 a 

　.（1）求证：数列  na 是等差数列，并求出  na 的通项公式（2）设1nn nba S ，数列  nb 的前 n 项和为nT ，求证：32nT 

　例 2：设数列  na 满足：1 11, 3 ,n na a a n N    ，设nS 为数列  nb 的前 n 项和，已知10 b  ，1 12 ,n nb b S S n N     

　（1）求数列    ,n na b 的通项公式（2）求证：对任意的 n N 且2 n  ，有2 2 3 31 1 1 32n na b a b a b     

　 例 3：已知正项数列  na 的前 n 项和为nS ，且12 ,n nna S n Na   （1）求证：数列  2nS 是等差数列 （2 2 ）记数列31 21 1 12 ,n n nnb S Tb b b     ，证明：1 3 112 1nTn n   

　例 4：已知数列  na 满足21 112, 2 1 ,n na a a n Nn       （1）求证：数列2nan   是等比数列，并求出数列  na 的通项公式 （2 2 ）设nnnca ，求证：1 21724nc c c    

　 例 5：已知数列  na 的前 n 项和   3 1 ,n nS na n n n N      ，且317 a 

　（1）求1a （2）求数列  na 的前 n 项和nS （3）设数列  nb 的前 n 项和nT ，且满足nnnbS ，求证：23 23nT n  

　例 6：已知数列  na 满足  1111, 2,41 2nn nnaa a n n Na    

　（1）试判断数列  11nna    是否为等比数列，并说明理由 （2）设  2 1sin2n nnb a  ，数列  nb 的前 n 项和为nT ，求证：对任意的4,7nn N T 

　 例 7：已知数列  na 满足：132a  ，且 1132,2 1nnnnaa n n Na n    （1）求数列  na 的通项公式 （2 2 ）证明：对于一切正整数 n ，均有1 22 !na a a n     

　例 8：已知函数     2ln , 1 0bf x ax x fx   

　（1）若函数   f x 在 1 x  处切线斜率为 0 ，" 21111nna f na n      ，已知14 a  ，求证：

　2 2na n   （2）在（1）的条件下，求证：1 21 1 1 21 1 1 5na a a     

　例 9：已知数列  na 的各项均为正值，对 n N  ，    21 21 4 1 , log 1n n n n na a a b a     ，且11 a  （1）求数列 ,n na b 的通项公式 （2 2 ）当 7 k  且 k N 时，证明对 n N    ，都有1 2 11 1 1 1 32n n n nkb b b b       成立

　例 10：数列  na 是公差不为零的等差数列，56 a  ，数列  nb 满足：1 1 1 23, 1n nb b bb b  

　（1）当 2 n  时，求证：111nnnbbb

　（2）当31 a  且3a N   时，1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a 为等比数列 ① 求3a

　 ② 当3a 取最小值时，求证：1 21 2 31 1 1 1 1 1 141 1 1nn k k kb b b b a a a              

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