向量平行与垂直练习题含解析

　 向量的平行与垂直 练习题含解析

　一、基础知识回顾：

　1 1 ． 平行向量定义：①方向

　或

　的非零向量叫平行向量，向量 、 平行，记作 ∥ ；②规定：

　与任一向量

　； ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 2.

　向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件：有且只有一个实数λ，使 =λ .（等价于：存在两个不同为零的实数1 、 2 ，使得

　3.

　非零量 向量 和 和 ：

　的数量积的定义：

　· =

　（向量 和的夹角为 ）

　4.

　非零量 向量 和 和 垂直的定义：如果两个非零向量 和

　 ，则说 和 垂直，记作 ⊥ 5. 非零 向量垂直的充要条件：符号语言：

　坐标语言：设 =(x 1 ,y 1 ), =(x 2 ,y 2 )，则

　6.

　向量共线的充要条件：符号语言：

　=λ （ ，）

　坐标语言：设 =(x 1 ,y 1 ), =(x 2 ,y 2 )，则

　二、 基础训练 1．与向量 垂直的单位向量是_________

　 _____. a b a b 0baba  ). 02 1  b a  a b a b a ba b a ba b a b  b aab   b a b a// baa0 R  ab  b a//) 4 , 3 (   a

　 2．与向量 平行的单位向量是_______

　_______. 3．若三点共线，则 k =______________. 4．若

　（ ）

　A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 三、典型例题

　例 1．已知向量 ， ，且 ，求实数 的值。

　 例 2．已知

　（1）求 ； （2）当 为何实数时， 与 平行， 平行时它们是同向还是反向？. （3）当 为何实数时， 与 垂直？.

　 例 3．已知点 及 ,试问: （1）当 为何值时, 在 轴上? 在 轴上? 在第三象限? ) 4 , 3 (   aD B A e e CD e e CB e k e AB e e , , , 2 , 3 , 2 , ,2 1 2 1 2 1 2 1若 已知 是两个不共线的向量      的 是 则 b ayy**y x b y x a // ), , ( ), , (21212 2 1 1  (1,2), ( ,1), 2 a b x u a b     2 v a b   // u vx). 1 , 2 ( ), 0 , 1 (   b a| 3 | b a kk  abb a3 k k  abb a3 ) 5 , 4 ( ), 2 , 1 ( ), 0 , 0 ( B A O AB t OA OP   t P x P y P

　 （2）O、A、B、P 四点能否构成平行四边形?若能,则求出 的值.若不能,说明理由.

　例 4.已知平面上三个向量 、 、 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°， （1）求证：

　⊥ ；（2）若 ，求 的取值范围.

　四、课后作业

　班级

　姓名

　（ ）1．如果 互相垂直，则实数 x 等于 tabc) ( b a c1 | |    c b a k) ( R k k) 4 , 1 ( ) 3 , 2 2 (       x x b x a 与

　 A．

　B．

　C． 或

　D． 或－2 （ ）2．三点 A( x 1 , y 1 )，B( x 2 , y 2 )，C( x 3 , y 3 )共线的充要条件是

　 A． x 1 y 2 － x 2 y 1 =0

　 B． x 1 y 3 － x 3 y 1 =0

　C．

　 D．

　（ ）3．已知

　A．2

　 B．－2

　C．±2

　D．±

　（ ）4．非零向量 、 的位置关系是

　 A．平行

　 B．垂直

　 C．共线且同向

　D．共线且反向 （ ）5．下列命题中正确的是

　A．若

　B．若

　C．若

　D．若

　（ ）6.向量 ＝（3，4）按向量 a a=(1,2)平移后为

　A、（4，6）

　B、（2，2）

　C、（3，4）

　D、（3，8）

　（ ）7．下面四个条件：

　 ②

　③

　 2127212727) )( ( ) )( (1 2 1 3 1 3 1 2y y x x y y x x      ) )( ( ) )( (1 3 1 2 1 3 1 2y y y y x x x x     为 则 且 b a b a b a    , 2 | | , 1 | | //3a b a b a b a b a b    与 则向量 不平行于 且 满足 , |, | | |0 , 0    b a b a 或 则 b a b a // , 0 则  2) ( , b a b a b a     则 | || | , , b a b a b a   则 共线ABe b a e b a 5 3     且 ①) 0 (    b R b a 且 唯一 且   ) , ( 02 1 2 1R x x b x a x    ) 0 , ( 0      y x R y x b y a x 且 ④

　 其中能使 共线的是

　 A．①②

　B．①③

　C．②④

　D．③④ （ ）8. 在△ABC 中，∠C=90°， 则 k 的值是

　 A．1.5 B．－1.5 C．5 D． －5 9．已知

　10.设 ,且有 ,则锐角

　 。

　11．已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(－1,－2)，B(3,－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为__ ____. 12．给出下列命题：

　（ 1 ）

　如 果

　（ 2 ）

　如 果

　（3）如果 方向相反； （4）如果

　（5）如果 的夹角为钝角.

　其中假命题是____________（将假命题的序号都填上）

　13 ． 已 知 在 梯 形 ABCD 中 ，

　b a与), 3 , 2 ( ), 1 , (   AC k AB. // , _______ , ______ ), 3 , 4 ( ), 7 , ( b a x b a x x b x a 时 ；当 时 当      )31, (cos ), sin ,23(     b a b a//  ; ) R 0 ( b a b a     那么 ，    ; ), 0 ( b a c c b c a      那么b a b a b a 与 那么 , 0 | | | |     ; , 0 b a b a    那么b a b a 与 那么 , 0  . ), 2 //( ), 7 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 1 ( , // 点坐标 求 若 D AB BD AD C B A CD AB    

　14．已知平面内三个点 A（1，7），B（0，0），C（8，3），D 为线段 BC 上一点，且 点坐标.

　 B B 组

　（ ）1.已知 ， ，若 ，则△ABC 是直角三角形的概率是

　 A．

　B．

　C．

　D． 2.有两个向量 ， ，今有动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ；另一动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ．设 、 在时刻 秒时分别在 、处，则当 时，

　秒．

　（ ）3.已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是 P 线段 AB 上且 =t

　(0≤t≤1)则 ·

　的最大值为

　A．3

　 B．6

　 C．9

　D．12 D BC DA CA BA 求 , ) (   k Z  ( ,1), (2,4)   AB k AC 10 AB 172737471(1,0) e 2(0,1) e  P0 ( 1,2)P 1 2e e 1 2| | e e Q0 ( 2, 1)Q  1 23 2 e e 1 2|3 2 | e e  P Q 0 t 0P0Q0 0PQ PQ  t AP AB OA OP

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