高等代数实践x|

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中国海洋大学本科生课程大纲

课程名称

高等代数实践

Practice on Advanced Algebra

课程代码

075104103278

075104103280

课程属性

匚作技能

课时/学分

16+16/0. 5+0. 5

课程性质

必修

实践学时

责任教师

解朋朋肖汉

课外学时

32+32

课程属性：工作技能

课程性质：必修

_、课程介绍

课程描述：

高等代数实践是数学科学学院本科生的重要的工作技能必修课，是进一步学习代 数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识。本课程针对低年级数学类专业学生 开设，课程包括线性代数的若干基本内容：多项式理论、行列式、线性方程组和矩阵、 线性空间和线性变换、欧式空间和二次型化简等。通过本课程的教学，使学生较好掌 握多项式理论、线性代数、线性空间的理论知识；进一步掌握高等代数的基本理论， 基本运算技能和基本思想方法，培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学 研究的初步能力，及运用数学软件编程解题的动手实践能力，为今后进一步学习其它 课程及科学研究奠定必要的数学基础。

设计思路：

本课程引导低年级数学类专业学生通过高等代数来探讨和理解山实际问题所驱动 的线性代数在理论和应用两方面的发展途径。本课程以高等代数理论作为基础，熟练 运用基本定理、基本公式，加深知识点，拓宽知识面为LI的。它是高等代数课程的理 论知识和基本技能的进一步深化，选修的学生应具备基本的高等代数的理论知识和运 算技能。课程内容包括四个模块：多项式理论、行列式线性方程组和矩阵、线性空间 和线性变换、欧式空间和二次型化简；这四个方面相互关联，能够体现高等代数实践 课程的基本特征。

多项式理论是代数学中最基本的研究对象之一，它在进一步学习其他的数学分支 时也会遇到。这一板块我们主要探讨数域、一元多项式、整除、最大公因式、因式分 解定理、重因式、有理系数多项式等内容。针对高等代数课和后续的其他课程，我们 对每一知识点进行补充和深入讨论。

行列式和矩阵是线性代数最基本的内容，它们的重要应用之一就是线性方程组的 判别和求解。在此章中，要求熟练掌握行列式的性质，计算。熟练掌握矩阵的运算，逆 矩阵的求法。理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。利用 矩阵的初等变换求解线性方程组，会用基础解系表示解集。通过学习，主要培养学主分 析论证问题的能力、抽象思维能力和和解决实际问题的能力。

线性空间和线性变换这一板块，我们需要正确理解和掌握线性空间的定义及性质， 理解线性子空间的定义及判别定理，深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要 条件。掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。理解和掌握线性变换 的定义及性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项 式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻 理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度的关 系。

欧式空间和二次型化简这一部分要求学生熟练掌握二次型化标准形的方法，掌握 正定二次型的等价条件，深刻理解欧氏空间的定义及性质，掌握正交变换的概念及等 价条件，理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的 方法以及正交线性替换化简二次型为标准形。

课程与其他课程的关系:

先修课程：高等代数I:

并行课程：数学分析I、数学实验I等；

后置课程：《数值代数》、《偏微分方程数值解法》、《近世代数》、《数值分析》等。

　本课程与《数值代数》、《数值逼近》、《偏微分方程数值解法》等构成了计?算数学系列 课程群，内容和要求各有侧重、联系密切。

二、 课程目标

本课程U标是数学与应用数学专业、汁算与信息科学专业重要的工作技能必修课, 它是学生进一步学习代数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识，同时也可使 其他理科专业学生进一步深入了解线性代数知识，为低年级数学类专业学生提供一个 数学应用的窗口，引导并培养学主用数学理论和数学软件来描述和解决实际问题的能 力，增强沟通能力和团队合作意识。到课程结束时，学生应能：

（1） 对实际问题建立线性方程组和特征值求解等模型，理解这些模型的求解算法、 并对小规模的线性代数问题给出书面的讣算过程；

（2） 提高数学理论分析能力，理解线性方程组求解的理论、线性空间和线性变换 以及欧式空间和二次型化简等线性代数知识，利用这些理论进行简单应用。

（3） 利用计算机软件（MATLAB、C等）对所建立的线性方程组和特征值问题等进 行求解、并对结果进行合理的理论分析和总结；

（4） 针对数学模型中产生的线性代数问题开展小组研究（分析论证问题、用抽象 思维考虑问题和形成科学研究的初步能力，并运用数学软件编程解题），并通过口头报 告或书面研究报告形式提供研究结果；激发同学深入理解高等代数所表达的人们处理 实际问题时所遵循的理念，提升提出问题并解决问题的能力。

三、 学习要求

要完成所有的课程任务，学生必须：

（1） 按时上课，上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。本课程将包 含较多的随堂练习、小组讨论等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。

　学生应针对高等代数学习中遇到的问题进行主动学习。

（2） 按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交 作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。

（3） 学会运用数学软件编程解题的动手实践能力，完成教师布置的一定量的理论 探讨和算法软件应用等作业。这些作业能加深对课程内容的理解、促进同学间的相互 学习、并能引导对某些问题和理论的更深入探讨。

四、参考教材与主要参考书

1、 选用教材：没有固定的教材。

2、 主要参考书：

李师正主编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，北京（2004）.

杨子胥，《高等代数习题解（修订版）》上、下册，山东科学技术出版社，济 南（2001）。

五、进度安排

序号

专题

主题

计划 课时

主要内容概述

实验实践 内容

1

多项式理 论

一元多项式 的整除、最 大公因式

2

带余除法：辗转相除法：互素的验证

高等代数教 材作业；

高等代数小 测验题目：上 机题目

因式分解定 理、重因式

2

不可约多项式概念、性质：因式分解 及唯一性立理；k重因式与k重根的 关系

复系数与实 系数多项式 的因式分

解、有理系 数多项式

2

复（实）系数多项式分解定理：本原 多项式；Eisenstein判别法

多元多项 式、对称多 项式、利用 数学软件计

2

对称多项式基本定理

习题课:课堂讨论，完成作业练习， 教师讲解

算多项式的 数值解

2

行列式

行列式左 义、性质及 计算

2

行列式的多种计算方法:利用数学软 件计算行列式

高等代数教 材作业：

补充习题

3

线性方程 组

线性相关 性.矩阵的 秩

2

向量组线性关系的证明

高等代数教 材作业

髙等代数小 测验题目：上 机题目

线性方程组 的有解判别 和求解

2

线性方程组有解的判别和求解

4

矩阵

矩阵的运算

2

矩阵乘积和行列式的秩

高等代数教 材作业

高等代数小 测验题目：上 机题目

逆矩阵的求 法;分块矩 阵的乘法

3

逆矩阵的求法：分块矩阵的加法、乘 法的运算及性质

5

二次型

二次型化简

2

正交线性替换化简二次型

髙等代数教 材作业

高等代数小 测验题目：上 机题目

正定二次型

3

正泄二次型的判别条件：半正泄二次 型的等价条件

6

线性空间

线性空间的 定义与性质

3

线性空间的左义与性质；线性空间的 维数与基：基变换与坐标变换

高等代数教 材、习题解

子空间的交

3

子空间的和、直和、维数公式：线性 空间的同构

7

线性变换

线性变换的 定义及性质

2

线性变换的定义运算

髙等代数教 材、习题解:

数学实验

特征值和特 征向量、值 域与核

3

求一个矩阵的特征值和特征向疑：相 似矩阵与它们的特征多项式的关系： 线性变换的值域、核、秩、零度等槪 念

不变子空 间、若当标 准形

3

线性空间的不变子空间分解

8

入-矩阵

不变因子、 初等因子

3

X -矩阵在初等变换下的标准形、不变 因子、初等因子、矩阵的有理标准型

高等代数教 材、习题解； 数学实验

9

欧几里得 空间

标准正交 基、施密特 正交化、同 构与空间维

数的关系

3

标准正交基、施密特正交化、同构与 空间维数的关系

高等代数教 材作业： 小测验题目；

上机题目

正交变换与

1

正交变换、子空间、实对称矩阵的标

正交矩阵

准形

六、成绩评定

（-）考核方式D : A.闭卷考试B.开卷考试C.论文D.考查E.其他

（二）成绩综合评分体系:

成绩综合评分体系

比例％

1.出勤、作业

30

2.平时测验

20

3.小论文

50

总计

100

附：作业和平时表现评分标准

1）作业的评分标准

作业的评分标准

得分

1?严格按照作业要求并及时完成，基本概念淸晰，解决问题的方案正确、合理， 能提出不同的解决问题方案。

90?100分

2?基本按照作业要求并及时完成，基本概念基本淸晰，解决问题的方案基本正 确、基本合理。

70-80 分

3.不能按照作业要求，未及时完成，基本概念不淸晰，解决问题的方案基本不 正确、基本不合理。

40-60 分

4?不能按照作业要求，未及时完成，基本概念不淸晰，不能制定正确和合理解 决问题的方案。

0-30 分

2）课堂讨论及平时表现评分标准

课堂讨论、平常表现评分标准

得分

1.资料的查阅、知识熟练运用，积极参与讨论、能阐明自己的观点和想法，能 与英他同学合作、交流，共同解决问题。

90?100分

2.基本做到资料的查阅、知识的运用，能参与讨论、能阐明自己的观点和想法， 能与其他其他同学合作、交流，共同解决问题。

70-80 分

3?做到一些资料的查阅和知识的运用，参与讨论一般、不能阐明自己的观点和 想法，与其他同学合作、交流，共同解决问题的能力态度一般。

40-60 分

4?不能做到资料的查阅和知识的运用，不积极参与讨论，不能与其他同学合作、 交流，共同解决问题。

0-30 分

七-学术诚信

学习成果不能造假，如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等，均属造假 行为。他人的想法、说法和意见如不注明出处按盗用论处。本课程如有发现上述不良行为，将按学 校有关规龙取消本课程的学习成绩。

八、大纲审核

院学术委员会签章:教学院长:

院学术委员会签章:

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