精讲05,三角函数（解析版）

　 题 专题 05 三角函数

　【专题综述与核心素养要求】

　三角函数是一类最典型的周期函数.在高中数学课程中，《课程标准（2017 年版）把三角函数内容安排在必修课程“主题二函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体，同时提出通过三角函数内容的学习使学生“重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升”.因此，在教科书的编写中应遵循“注重教科书的整体结构”“体现内容之间的有机衔接”“凸显内容和数学学科核心素养的融合”等原则，帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”以及“幂函数、指数函数、对数函数”等内容的联系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的定义、性质和应用等内容的学习，提升数学学科核心素养. 【重要知识点与题型快速预览】

　【知识点精解精析】

　基础知识点 一 ：

　同角三角函数的基本关系

　 （1）同角三角函数的基本关系

　基本关系式 语言描述 平方关系

　同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系

　同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切 温馨提示 ①注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角“在使函数有意义的前提下”关系式都成立，如 成立，但是 就不一定成立． ② 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ，前者是 的正弦的平方，后者是 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． ③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切 恒成立，而 对 成立． 基础知识点二：

　特殊角的三角函数值表

　角

　弧度 0

　 正弦 0

　1

　 0

　余弦 1

　0

　0 正切 0

　1

　不存在

　 0 不存在

　基础知识点三：

　三角函数的诱导公式

　 公式一 ， ， （其中 ）

　公式二 ， ，

　公式三 ， ，

　公式四 ， ，

　公式五 ，

　公式六 ，

　 基础知识点四：

　正弦函数和余弦函数的图象与性质

　函数

　 图象

　 定义域

　 值域

　 最值 时， ； 时，

　时， ； 时，

　单调性 在

　上为增函数； 在

　上为增函数； 在

　上为减函数

　 在

　上为减函数 奇偶性 奇函数 偶函数 最小正周期

　 对称性 对称轴：

　， ； 对称中心：

　，

　对称轴：

　， ； 对称中心：

　，

　 基础知识点五：

　由 的图象得到 （其中 ， ）的图象的过程

　先画出函数 的图象，再把正弦曲线向左（右）平移 个单位长度，得到 的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 ，得到函数 的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象． 这一过程的步骤如下：

　 ． 应注意还有一种途径：

　 ． 这两个途径的关键差别在“相位变换”这一步骤上，其实质是要看自变量 的变化情况．对于第一种途径，在相位变换这一步中是由 变到 ，故应为“将函数 图象上所有点向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度得到函数 的图象”；对于第二种途径，在相位变换这一步中是由 到 ，即 ，实质是 变化到 ，故应为“将函数 的图象上所有点向左（当 时）或向右（当 ）平移 个单位长度得到函数 图象”．两者平移的方向相同，但平移的单位长度不同，这是很容易出错的地方． 温馨提示 ① ， 决定“形变”， 决定“位变”． ②第一种途径是先平移后伸缩，第二种途径是先伸缩后平移，且两种途径平移的方向相同，但平移的单位长度不同．特别注意，不论是相位变换（ ）还是周期变换（ ）都是针对自变量“ ”而言的，变换时要注意顺序． 基础知识点六：

　两角和与差的余弦公式

　，简记作 ． ，简记作 ． 上述两个公式的记忆口诀：“余余正正，符号相反”． 基础知识点七：

　两角和与差的正弦公式

　，简记作 ． ，简记作 ． 上述两个公式的记忆口诀：“正余余正，符号相同”． 基础知识点八：

　两角和与差的正切公式

　，简记作 ．

　 ，简记作 ． 基础知识点九：

　二倍角的正弦、余弦、正切公式

　，

　，

　．

　 基础知识点十：

　化简三角函数式时常用的变换技巧

　（1）角的代换 将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换． 常见的配角技巧：

　； ； ； ； ； ． （2）公式的逆用和变形 公式的顺用是常见的，但逆用和变形往往容易被忽视．公式的逆用和变形不仅能开拓思路，而且能培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形，才能熟练掌握公式的应用． ①逆用：

　． ②角变换后使用：

　． ③移项使用：

　 ； ． ④公式的变形：

　i. ． ii. ． iii. ． iv. ． v.升幂公式：

　； ． vi.降幂公式：

　； ． ⑤“1”的变形 ， ， ， ． （3）辅助角公式 对于形如 的式子，可变形如下：

　． 由于上式中的 与 的平方和为 1， 故可记 ， ， 则原式 ． 由此有如下结论：

　 ，其中 由 ， 来确定． 通常称式子 为辅助角公式，它可以将含多个三角式的函数问题转化为形如 的函数问题． 特别地， ． 【必知必会题型深度讲解】

　必知必会 题型一 ：

　利用诱导公式化简三角函数式

　利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即

　口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”． 【典型例题 1 1 】

　（1）求17 16 4cos sin tan6 3 3               的值； （2）化简3sin(π- )cos( π )tan( π)2cos( π)sin( 2π)      【答案】（1）3 ；（2）1. 【解析】

　（1）17 5cos cos 26 6     5 3cos6 2  ， 16 16sin sin sin 53 3 3                3sin3 2 ， 4 4tan tan tan 33 3 3            ，

　 所以原式 3 33 32 2     . （2）原式3sin2sin sin3cos2cos sin          ＝sin sin sin 22( cos ) sin cos 22                    sin sin sin2( cos ) sin cos2               sin sin cos( cos ) sin ( sin )        1 . 【典型例题 2 2 】

　化简下列各式：

　（1）        tan 2 sin 2 cos 6cos sin 5               ； （2）1 2sin290 cos430sin250 cos790  . 【答案】（1）－tanα；（2）－1. 【解析】

　（1）原式＝        sin 2sin coscos 2cos π α sin π α         sin sin coscos cos sin        tan  

　（2）原式＝) ) 1 2sin(360 70 cos(360 70sin(180 70 cos(720 70 ) )           ＝1 2sin70 cos70sin70 cos70   ＝| | cos70 sin70cos70 sin70   ＝sin70 cos70cos70 sin70   ＝－1.

　 【典 型例题 3 3 】

　已知sin( ) 3sin( )2( )2cos( ) cos( )2f         . （1）化简 ( ) f  ；

　（2）已知 tan 3   ，求 ( ) f  的值. 【答案】（1）cos 3sin( )2sin cosf   ；（2）-2. 【解析】

　（1)sin( ) 3sin( )cos 3sin2( )2sin cos2cos( ) cos( )2f             ; （2)由 tan3  ，可得cos 3sin 1 3tan 10( ) 22sin cos 1 2tan 5f            . 必知必会 题型 二：

　由部分图象确定函数解析式

　确定 的解析式的步骤：

　（1）求 ， ．先确定函数的最大值 和最小值 ，则 ， ． （2）求 ．相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值为 ；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为，再根据 确定 ． （3）求 ．利用峰点、谷点或零点列出关于 的方程，结合 的范围解得 的值，所列方程如下：

　峰点：

　；谷点：

　． 利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点（图象上升时与 轴的交点）：

　； 降零点（图象下降时与 轴的交点）：

　． （以上 ）

　 【典型例题 1 1 】

　已知函数( ) sin( ) 0, 0,| |2f x A x A          的部分图象如下图所示，则函数( ) f x 的解析式________.

　【答案】

　( ) 2sin(2 )6f x x 

　【解析】

　由函数图象知   f x 的最大值为 2 ，所以 2 A ； 又54 12 6 4T      ，所以 T   ，则22T   ， 将 ,26    代入得 2 26 2k       ，解得：

　26k    ， 又 | |2 ，所以6π  ，故 ( ) 2sin(2 )6f x x  . 故答案为：( ) 2sin(2 )6f x x  【典型例题 2 2 】

　如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y （单位：

　m ）在某天 24 小时内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0时开始的时间 x 的函数关系式为________．

　 【答案】

　6sin (0 24)6y x x   

　【解析】

　由图设sin( ) y A x     (0 24) x  ． 由图象可知 6 A ， 12 T  ，所以26 T    ， 所以 6sin( )(0 24)6y x x    

　将 (9,6) 代入函数的解析式得36 6sin( )2   ， 所以3sin( ) 1 cos 12       ，

　所以  ． 所以函数关系式为 6sin 6sin (0 24)6 6y x x x         ． 故答案为：6sin (0 24)6y x x    【典型例题 3 3 】

　已知函数sin( ) y A x B     的一部分图像如图所示，如果 0, 0,| |2A     ，那么以下结论：① 4 A  ；② 1   ；③6π  ；④ 4 B = 中，正确的是____________________.

　【答案】③ 【解析】

　由图象可得函数sin( ) y A x B     的最大值、最小值分别为 4,0 ，

　 0, 4, 2, 2 A B A B A B         ，所以①④不正确； 设函数的周期为 T ，由图象上两点5( ,4),( ,2)6 12 ，

　得5 2, , 24 12 6 4TT            ，所以②不正确； 6x 时函数取得最大值， 2 2 ( )6 2k k Z         ， 2 ( ),6 6| | ,2k k Z         ，所以③正确. 故答案为：③ 必知必会 题型 三：

　求三角函数的单调区间

　求函数 （或 ）的单调区间时，一般先将 的系数化为正值（通过诱导公式转化），再把“ ”视为一个整体，结合函数 （或 ）的单调性找到“ ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间． 【典型例题 1 1 】

　已知函数     2sin ( 0,0 ) f x x           最小正周期为  ，图象过点, 24    . （1）求函数   f x 解析式 （2）求函数   f x 的单调递增区间. 【答案】（1）

　( ) 2sin(2 )4f x x  ；（2）

　 3,8 8k k k Z        . 【解析】

　（1）由已知得2 ，解得 2   .

　将点 , 24    代入解析式， 2 2sin 24     ，可知2cos2 ， 由 0     可知4  ，于是   2sin 24f x x     .

　 （2）令   2 2 22 4 2k x k k Z          

　解得  38 8k x k k Z         ，

　于是函数  f x的单调递增区间为 3,8 8k k k Z        . 【典型例题 2 2 】

　已知函数     sin f x x    π02,      ，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为π4，且函数   f x 图象的一个对称中心为π,06   . （1）求   f x 的解析式； （2）确定   f x 在π0,2   上的单调递增区间. 【答案】（1）

　 πsin 23f x x    ；（2）π0,12   . 【解析】

　（1）设函数   f x 的周期为 T ，由题设得ππ 24 4TT       ， 又∵π,06   为   f x 图像的一个对称中心， ∴π π0 sin 06 3f              ， 又∵π2  ，∴π3  ，故  πsin 23f x x    ； （2）由π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k      5π ππ π12 12k x k     ， k Z  ， ∴   f x 在5π ππ , π12 12k k      k Z  上递增， 当 0 k  时，   f x 在5π π,12 12   递增，由5π π π π, 0, 0,12 12 2 12                ，

　 ∴  f x在π0,2    上的单调递增区间为π0,12    ． 【典型例题 3 3 】

　已知函数  5πsin 26f x x    ． （1）求   f x 的最大值及取得最大值时 x 的值； （2）求   f x 的单调递减区间． 【答案】（1）1；  ππ6x k k   Z ；（2）π ππ , π6 3k k轾犏 - +犏臌， kZ

　【解析】

　（1）令5π π2 2 π6 2x k    ，即  ππ6x k k   Z 时，   f x 取最大值 1． （2）由  π 5π 3π2 π+ 2 2 π2 6 2k x k k     Z

　得  f x的减区间为π ππ , π6 3k k轾犏 - +犏臌， kZ

　必知必会 题型 四：

　函数 的图象的对称问题

　（1）函数 的图象关于直线 （其中 满足 ， ）对称，也就是说，过波峰或波谷处且与 轴垂直的直线为其对称轴． （2）函数 的图象关于点 （其中 满足 ， ）中心对称，也就是说，函数图象与 轴的交点（平衡位置点）是其对称中心． 【典型例题 1 1 】

　求函数3sin 23y x     的对称轴和对称中心. 【答案】对称轴为 ,2 12kx k Z    ；对称中心为 ,0 ,2 6    kk Z  【解析】

　 由 23 2x k     ，得 ,2 12kx k Z    ， 所以对称轴为 ,2 12kx k Z    . 由 23x k   ，得 ,2 6kx k Z    ， 所以对称中心为,0 ,2 6kk Z      . 【典型例题 2 2 】

　已知函数( ) sin cos f x a x b x     （其中 0, 0, 0    a b  ）， xR ．它的最小正周期为  ， 34   f，且( ) f x 的最大值为 2． （1）求( ) f x 的解析式； （2）写出函数( ) f x 的单调递减区间、对称轴和对称中心． 【答案】（1）

　( ) 2sin 26f x x     ；（2）递减区间2, ,6 3k k k Z       ；对称轴为直线,2 6kx k Z    ；对称中心 ,0 ,2 12kk Z       【解析】

　解：（1）2 2( ) sin cos sin( ) f x a x b x a b x         ，其中  为辅助角，且 tanba  ， 2Tw    ， 2   

　( ) 34f ， sin cos 32 2a b    ，即3 a  ( ) f x 的最大值为 2， 2 22 a b  ，解得， 1 b 

　( ) 3sin2 cos2 f x x x   所以 ( ) 3sin2 cos2 2sin(2 )6f x x x x   

　（2）由（1）得， ( ) 2sin(2 )6f x x 

　 令32 2 22 6 2k x k       剟 ， k Z  ，解得，2,6 3k x k k Z      剟

　 函数的单调递减区间2, ,6 3k k k Z       ； 令 26x k   ， k Z  ，解得 ,2 12kx k Z   

　 函数的对称中心为 ,0 ,2 12kk Z      ； 令 26 2x k     ， k Z  ，解得， ,2 6kx k Z   

　对称轴方程为,2 6kx k Z    【典型例题 3 3 】

　已知函数  2sin 26f x x     . （1）求函数   f x 的对称轴； （2）当 0,2x    时，求函数   f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：2 3kx   ( k Z  )；（2）最大值为 2，最小值为 1  . 【解析】

　（1）函数   2sin 26f x x     . 令 26 2x k     ( k Z  )，解得2 3kx   ( k Z  )， 所以函数   f x 的对称轴方程为：2 3kx   ( k Z  ). （2）由于 0,2x    ， 所以52 ,6 6 6x        ，

　 故1sin 2 ,16 2x           . 则：

　  1 2 f x   

　故当 0 x  时，函数的最小值为 1  . 当3x时，函数的最大值为 2. 必知必会 题型 五：

　三角函数在实际问题中的应用

　将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：

　①审题：把问题提供的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”； ②可通过描点画图寻找适合的数学模型； ③准确求出函数解析式． 【典型例题 1 1 】

　如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，2MON  ，现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、B 在弧 MN上，且线段 AB 平行于线段 MN

　（1）若点 A为弧 MN的一个三等分点，求矩形 ABCD的面积 S； （2）当 A在何处时，矩形 ABCD的面积 S最大？最大值为多少？ 【答案】（1）

　;（2）

　当 A在弧 MN的四等分点处时， ． 【解析】

　（1）如图，作 OH AB  于点 H，交线段 CD于点 E，连接 OA、OB，

　6AOB  ，

　2 sin , cos12 12AB R OH R    ， 1sin2 12OE DE AB R  

　cos sin12 12EH OH OE R          2 22 sin cos sin 2sin cos 2sin12 12 12 12 12 12S AB EH R R R                      2 23 1sin cos 16 6 2R R         

　（2）设 02AOB       

　则 2 sin , cos2 2AB R OH R    ，1sin2 2OE AB R 

　cos sin2 2EH OH OE R         

　2 22 sin cos sin 2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2S AB EH R R R                       2 2sin cos 1 2sin 14R R                

　0,2   ，3,4 4 4       

　 4 2     即4  时，

　 2max2 1 S R   ，此时 A在弧 MN的四等分点处 答：当 A在弧 MN的四等分点处时， 2max2 1 S R   【典型例题 2 2 】

　如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（ Rt FHE  三条边， H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口 H 是 AB的中点， , E F 分别落在线段 , BC AD 上，已知 20 AB  米，10 3 AD米，记 BHE    .

　(1)试将污水净化管道的总长度 L （即 Rt FHE  的周长）表示为  的函数，并求出定义域； (2)问  取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度. 【答案】（1）sinθ cosθ 1L 10sinθ cosθ  ，π πθ , .6 3   ； （2）πθ6 或πθ3 时，L 取得最大值为 20 3 1 米．. 【解析】

　  1 由题意可得10EHcosθ ，10FHsinθ ，10EFsinθcosθ ，由于 BE 10tanθ 10 3  ，10AF 10 3tanθ  ， 所以3tanθ 33 ，π πθ ,6 3   ， 10 10 10Lcosθ sinθ sinθcosθ    ，π πθ , .6 3    即sinθ cosθ 1L 10sinθ cosθ  ，π πθ , .6 3   

　   2 设 sinθ cosθ t   ，则2t 1sinθcosθ2 ，由于π πθ ,6 3   ，π 3 1sinθ cosθ t 2sin θ , 2 .4 2              由于20Lt 1在3 1 , 22   上是单调减函数，  当3 1t2时，即πθ6或πθ3时，L 取得最大值为 20 3 1 米． 【典型例题 3 3 】

　运动员小王在一个如图所示的半圆形水域 (O 为圆心，AB 是半圆的直径 ) 进行体育训练，小王先从点 A 出发，沿着线段 AP 游泳至半圆上某点 P 处，再从点 P 沿着弧 PB 跑步至点 B 处，最后沿着线段 BA 骑自行车回到点 A 处，本次训练结束.已知 1500m OA ，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为 2m/s ， 4m/s ， 10m /s ，设    PAO 弧度.

　（1）试将小王本次训练的时间 t 表示为  的函数   t  ，并写出  的范围； （2）请判断小王本次训练时间能否超过 40 分钟，并说明理由. （参考公式：弧长 l r   ，其中 r为扇形半径，  为扇形圆心角.）

　【答案】（1）

　  1500 300, 0,2 2t cos               ；（2）不能超过 40 分钟，理由见解析. 【解析】

　（1）在 OAP △ 中， 2 3000 AP OAcos cos     ，

　在扇形 OPB中，   2 3000 PB OA      ，

　又 2 3000 BA OA   ， 所以小王本次训练的总时间：

　 2 4 10P A AtB P B    3000 3000 30002 4 10cos     .

　1500 3002cos     ， 0,2   ．

　 （2）由（1）得  1" 15002t sin       ，

　令   " 0 t   ，得12sin   ，6   ，

　列表如下， 

　0,6     6 ,6 2        " t 

　

　0 - -

　  t 

　 极大值

　 从上表可知，当6  时，   t  取得极大值，且是最大值，

　  t   的最大值是 1500 cos 3006 6 12t               750 3 125 300    ，

　3 2 ， 3.2   ， 750 2 125 3.2 300 22006t          ． 2200 40 60   ，  小王本次训练时间不能超过 40 分钟． 必知必会 题型 六：

　三角函数式 的化简

　（1）化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等． 在化简三角函数式的过程中，要注意以下问题：

　①化简要遵循“三看”原则：

　a.一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式． b.二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． c.三看“结构特征”，分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”． ②根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负．

　 ③对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：

　a.化为特殊角的三角函数值． b.化为正、负相消的项，消去求值． c.化成分子、分母出现公约数，进行约分求值． （2）化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使三角函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． 【典型例题 1 1 】

　化简：9sin(4 )costan(5 ) 211sin cos(2 ) sin(3 )sin2 2                         ． 【答案】1 【解析】

　sin(4 ) sin( ) sin          ， 9cos cos 42 2                     cos sin2       ， 11 3 3sin sin 4 sin2 2 2                               sin sin cos2 2                         ， tan(5 ) tan( ) tan           ， sin(3 ) sin( ) sin          ，  原式22 2sin sin tan sin 1cos cos sin cos cos cos             2 22 21 sin cos1cos cos    ．

　 【典型例题 2 2 】

　设3 222cos sin (2 ) sin( ) 32( )2 2cos ( ) cos( )f            ，求 ( )3f的值. 【答案】1=3 2    f . 【解析】

　3 23 22 22cos sin (2 ) sin 32cos sin cos 3 2( )2 2cos ( ) cos( ) 2 2cos cos                        f 3 222cos cos cos 22 2cos cos        222(cos 1) cos cos 1 cos (cos 1)2 2cos cos            22(cos 1) 2cos cos 22cos cos 2       cos 1   

　∴1cos 13 3 2        f . 【典型 例题 3 3 】

　化简 （1）7sin(2 )cos( )cos cos2 25cos( )sin(3 )sin( )sin2                                （2）2 2sin810 tan765 2 cos360 a b ab    . （3）若ππ2   ,化简222cos sin 1 sin1 cos1 cos   【答案】(1) tan  (2) 2a b  (3)0 【解析】

　（1）7sin(2 )cos( )cos cos2 25cos( )sin(3 )sin( )sin2                               sin ( cos )sin ( sin )tancos sin ( sin )cos         ，

　 （2）2 2sin810 tan765 2 cos360 a b ab   

　2 2sin90 tan45 2 cos0 a b ab    

　2 22 a b ab    2( ) a b  

　（3）因为ππ2   ， 所以 sin 0,cos 0     ， 2 22 22 2cos sin 1 sin cos sin cos1 cos sin1 cos sin          2cos sin cossin sin    

　cos cossin sin   

　0  必知必会 题型 七：

　三角函数的给值求值与给值求角问题

　解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示． （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． （2）当“已知角”有一个时，应关注“所求角”与“已知角”的和或差，进而应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． （3）解给值求角问题的一般步骤：

　①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角． （4）通过求角的某个三角函数值求角时，选取函数应遵照以下原则：

　①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 ，选正、余弦函数皆可；若角的范围是 ，选余弦函数较好；若角的范围为 ，选正弦函数较好．

　 【典型例题 1 1 】

　已知  ，  为锐角，且1sin7  ，3cos( )5    ． （1）求 sin( )6  的值； （2）求 cos  的值． 【答案】（1）5 314；（2）4 12 335 【解析】

　（1）∵  ，  为锐角，1sin7  ，∴24 3cos 1 sin7     ∴ sin sin cos cos sin6 6 6         =1 3 4 3 1 5 37 2 7 2 14    （2）∵ ,   为锐角，∴   0,      ， 由  3cos5    得，    24sin 1 cos5        

　∴       cos cos cos cos sin sin                     =3 4 3 4 1 4 12 35 7 5 7 35    【典型例题 2 2 】

　已知1 1sin( ) ,sin( )2 3        ，求tantan的值． 【答案】tan5tan. 【解析】

　解：由题意可得1sin cos cos sin2      ，

　1sin cos cos sin3      ，

　解得5sin cos12   ，1cos sin12   ，

　 此两式子相除可得tan5tan， 故答案为：

　5 ． 【典型例题 3 3 】

　已知3 5 10, , ,sin ,cos2 5 10            ，求角    的值. 【答案】4

　【解析】

　由于3, ,2     ，所以3,2 2 2               . 所以225 2 5cos 1 sin 15 5             ， 2210 3 10sin 1 cos 110 10             ，  5 10 2 5 3 10sin sin cos cos sin5 10 5 10                                        5 2 30 2 250 50 2   . 由于2 2      ，所以4    . 必知必会 题型 八：

　三角恒等式的证明

　恒等式包括有条件恒等式和无条件恒等式两种． （1）无条件恒等式的证明 从角度和函数名称出发，认真分析等式两边三角函数式的特点和关系，找出差异，寻找证明的突破口． （2）有条件恒等式的证明 一般可用消去法及基本量法．消去法即用代入、加减、平方等方法消去某些量；基本量法就是适当地选择题中可以独立取值的量作为基本量，将其他的量都用基本量表示，从而转化为研究基本量的问题． 【典型例题 1 1 】

　求证：  2sin cossin cos 1 sin cos 1x ** x x x    ＝1 cossin**. 【答案】证明见解析.

　 【解析】

　证明：左边＝2 22sin cos2sin cos 2sin 2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2x ** x x x x x         ＝2 2 22sin cos4sin cos sin2 2 2x ** x x    ＝2sin2sin2**

　＝cos2sin2**＝22cos22sin cos2 2** x＝1 cossin**＝右边. 所以原等式成立. 【 典型例题 2 2 】

　求证：sin 1 costan2 1 cos sin    . 【答案】证明见解析 【解析】

　2sin 2sin cossin2 2 2tan2 1 coscos 2cos2 2      . 2sin 2sin1 cos2 2tan2 sincos 2sin cos2 2 2       . 所以sin 1 costan2 1 cos sin     【典型例题 3 3 】

　求证：21 sin4 cos4 1 sin4 cos42tan 1 tan       . 【答案】证明见解析 【解析】

　证明：要证原式，可以证明21 sin4 cos4 2tan1 sin4 cos4 1 tan       . 左边  sin4 1 cos4sin4 1 cos4    

　 222sin2 cos2 2sin 22sin2 cos2 2cos 2       2sin2 cos2 sin22cos2 sin2 cos2     tan2   ， 右边22tantan21 tan ，  左边  右边，  原式得证. 必知必会 题型 九：

　可转化为 的函数问题

　当求与三角函数有关的函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要将函数转化为的形式． 若函数 的解析式通过三角恒等变换可转化为 的形式，则函数 的解析式可化为 （其中 满足 ， ）的形式． 【典型例题 1 1 】

　已知函数  2 2sin cos 2 3sin cos x x x x x f    . （1）求   f x 的最小正周期； （2）若 2 55f  ，求πcos 43   的值. 【答案】（1）

　 ；（2）35 【解析】

　（1）

　 2 2sin cos 2 3sin cos x x x x x f   

　cos2 3sin2 x x   3 12 sin2 cos22 2x x     π2sin 26x    ， ∴ π T  . （2）∵ 2 55f  ，π 2 52sin 26 5    ，π 5sin 26 5    ，

　 ∴2π π π 2 3cos 4 cos 2 2 1 2sin 2 13 6 6 5 5                               . 【典型例题 2 2 】

　已知函数  2sin 2 2sin6f x x x      . （1）求   f x 的最小正周期； （2）当5,3 6x     时，求   f x 的值域. 【答案】（1）

　 ；（2）1, 3 12轾- + 犏犏臌 【解析】

　（1）

　( ) sin2 cos cos2 sin 1 cos26 6f x x x xp p= - + -

　3 3sin2 cos2 12 2x x   

　3sin 2 13x      ， 22T    , 即   f x 的最小正周期为  ； （2）5,3 6x     ，42 ,3 3 3xp p p轾\ - ? 犏犏臌， 3sin 2 12 3x       ， 13sin 2 1 3 12 3xp骣琪 \ - ? + ?琪桫，   f x的值域为1, 3 12轾- + 犏犏臌. 【典型例题 3 3 】

　已知函数 f（x）＝sinxcosx﹣sin 2 x． （Ⅰ）求   f x 的单调递增区间；

　 （Ⅱ）求   f x 在区间 0,2    上的最大值和最小值． 【答案】（I）3, , Z8 8k k k       ；（II）最大值为2 12，最小值为 1 

　【解析】

　（I）

　 1 1 cos2 1 1 1sin2 sin2 cos22 2 2 2 2xf x x x x    2 1sin 22 4 2x      . 由 2 2 22 4 2k x k         ，得 32 2 24 4k x k       ，即38 8k x k       ， 所以   f x 的单调递增区间为3, , Z8 8k k k       . （II）由于 02x  ，所以524 4 4x     ， 所以2sin 2 12 4x       ，1 2 2sin 22 2 4 2x       ， 2 1 2 11 sin 22 4 2 2x         . 所以   f x 在区间 0,2    上的最大值为2 12，最小值 1  .

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