专题1.1,集合与函数（解析版）

　 1 专题 1.1

　集合与函数

　一、选择题：（本大题共 16 题，每小题 4 分，共计 64 分）

　1、已知集合  22 0 A x x x    ， 0 3 B x x    ，则 A B  （

　）

　A．   1,3 

　B．   0,2

　C．   2,3

　D．   2,3

　【答案】C 【解析】

　{ | 0 A x x   或 2} x  ， { |0 3} B x x    ， [2,3) A B    ． 故选：C. 2、函数  12 12f x **  的定义域为（

　）

　A．   0,2

　B．   2,

　C．  1,2 2,2    D．     ,2 2,  

　【答案】C 【解析】由2 1 02 0**   ，解得 x≥12且 x≠2． ∴函数  12 12f x **  的定义域为  1,2 2,2   ．故选：C． 3、函数   y f x  是 R 上的奇函数，当 0 x 时，   2 x f x  ，则当 0 x  时，   f x  （

　）

　A．2 x  B． 2x  C．2x  D． 2 x

　【答案】C 【解析】

　0 x Q 时，   2 x f x  . 当 0 x  时， 0 x   ，   2xf x  ， 由于函数   y f x  是奇函数，     2xf x f x    ， 因此，当 0 x  时，   2xf x ，故选 C.

　 2 4、已知集合   |2 1xA x   ，     | lg 1 B x y x    ，则 ( )RA C B  （

　）

　A． 

　B． (0,1)

　C． ( ,1] 

　D． ( ,0] 

　【答案】D 【解析】由题：

　{ |2 1} { 0}xA x x x     ，   { | lg 1} { | 1} B x y x x x      ， { 1}RC B x x   ， ( ) ( ,0]RA C B  

　故选：D 5、设0.5log 3 a  ，30.5 b ，0.513c   ，则 , , a b c 的大小关系为（

　）

　A． a b c  

　B． a c b  

　C． b a c  

　D． b c a  

　【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x  单调递减,则0.5 0.5log 3 log 1 0 a    ； 因为 0.5 x y  单调递减,则3 00 0.5 0.5 1 b     ； 因为 3 x y  单调递增,则0.50.5 013 3 13c      , 所以 0 1 a b c     , 故选：A 6、若 ( 1) f x x x    ，则( ) f x 的解析式为（

　）

　A．2( ) f x x x  

　B．2( ) ( 0) f x x x x   

　C．  2( ) 1 f x x x x   

　D．2( ) f x x x  

　【答案】C 【解析】f（ x  1）＝x+ x ，设 1 x   t，t≥1，则 x＝（t﹣1）

　2 ， ∴f（t）＝（t﹣1）

　2 +t﹣1＝t 2 ﹣t，t≥1， ∴函数 f（x）的解析式为 f（x）＝x 2 ﹣x（x≥1）．故选：C． 7、下列函数中是偶函数的是(

　) A． 12y x  B．2y x ﹣

　C． 2 x y 

　D．2log y x 

　 3 【答案】B 【解析】对于选项 A，函数12y x 的定义域为   0  ， ，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故 A 不满足题意；对于选项 B，函数  2y f x x    的定义域为     ,0 0,    ，且     22f x x x f x     ，所以 B 满足题意；对于选项 C，由指数函数的性质，可知 2 x y  不具有奇偶性，故 C 不满足题意；对于选项 D，函数2log y x  的定义域为   0,   ，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故 D 不满足题意；故选：B. 8、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在   5,1 2 m m   上的奇函数   f x ，满足 0 x  时，  2 1xf x   ，则   f m 的值为（

　）

　A．-15 B．-7 C．3 D．15 【答案】A 【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则 5 1 2 0 m m     ,解得 4 m

　因为奇函数   f x 当 0 x  时,   2 1xf x  

　则      44 4 2 1 15 f f     

　故选:A 9、函数( ) f x 在 ( , )   单调递减，且为奇函数.若 (1) 1 f   ，则满足 1 ( 2) 1 f x    的 x 取值范围是（

　）

　A． [ 2,2] 

　B． [ 1,1] 

　C． [0,4]

　D． [1,3]

　【答案】D 【解析】

　( ) f x 为奇函数， ( ) ( ) f x f x     . (1) 1 f   ， ( 1) (1) 1 f f     . 故由 1 ( 2) 1 f x     ，得 (1) ( 2) ( 1) f f x f     . 又( ) f x 在 ( , )   单调递减，1 2 1 x     ， 1 3 x    .故选：D 10、、函数  2e ex xf ** 的图像大致为 (

　)

　 4 A． B．

　C． D．

　【答案】B 【解析】20, ( ) ( ) ( )x xe ex f x f x f **      为奇函数，舍去 A, 1(1) 0 f e e      舍去 D; 24 3( ) ( )2 ( 2) ( 2)( ) 2, ( ) 0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f ** x              ， 所以舍去 C；因此选 B. 11、已知函数2 (log ) y x a b    的图象不经过第四象限，则实数 ab 、 满足(

　) A． 1,0 a b  

　B． 0, 1 a b  

　C． 2log 0 b a  

　D．2 0ba  【答案】C 【解析】因为函数2 (log ) y x a b    的图象不经过第四象限， 所以当0 x  时，0 y≥ ，log2 0 a b    .故选：C． 12、函数 312xf x x    的零点所在区间为（

　）

　A．   1,0 

　B．10,2    C．1,12    D．   1,2

　【答案】C

　 5 【解析】3 11( 1) ( 1) ( ) 3 02f       ，3 01(0) 0 ( ) 1 02f      ， 1321 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 02 2 2 8 2f      ，3 11 1 1(1) 1 ( ) 1 02 2 2f       ， 3 21 1 15(2) 2 ( ) 8 02 2 2f       ，由  11 02f f    . 故选：C 13、已知函数   f x 的定义域为   0,1,2 ，值域为   0,1 ，则满足条件的函数  f x 的个数为（

　）

　A．1 个 B．6 个 C．8 个 D．无数个 【答案】B 【解析】满足条件的函数   f x 有：

　(0) 0, (1) 1, (2) 1 f f f    ； (0) 1, (1) 0, (2) 0 f f f    ； (1) 0, (0) 1, (2) 1 f f f    ； (1) 1, (0) 0, (2) 0 f f f    ； (2) 0, (0) 1, (1) 1 f f f    ； (2) 1, (0) 0, (1) 0 f f f    ，满足条件的函数有 6 个.故选:B. 14、若函数xy a  ( 0 a  ,且 1 a )在  1,2 上的最大值与最小值的差为2a，则 a 的值为（

　）

　A．12 B．32 C．23或 2 D．12或32 【答案】D 【解析】当 1 a  时, xy a  在  1,2 上递增, y 的最大值为2a ，最小值为 a, 故有22aa a   ，解得32a  或 0 a 

　(舍去). 当 0 1 a   时，xy a  在  1,2 上递减, y 的最大值为 a,最小值为2a ， 故有22aa a   ，解得12a  或 0 a  (舍去).综上，32a  或12a  .故选 D.

　15、若函数, 1( )4 2, 12xa xf xax x       ，且满足对任意的实数1 2x x  都有   1 21 20f x f ** x成立，则实数 a 的取值范围是（

　）

　 6 A． (1,) 

　B． (1,8)

　C． (4,8)

　D． [4,8)

　【答案】D 【解析】由于   f x 足对任意的实数1 2x x  都有   1 21 20f x f ** x成立，所以   f x 在 R 上递增，所以114 024 22aaaa    ，即184aaa ，解得 4 8 a   .故选：D. 16、若函数6(3 ) 3, 7( ), 7xa x xf xa x    单调递增,则实数 a 的取值范围是(

　) A．9,34    B．9,34   C．   1,3

　D．   2,3

　【答案】B 【解析】

　函数6(3 ) 3, 7( ), 7xa x xf xa x   „单调递增，  3 013 7 3aaa a      解得934a   ,所以实数 a 的取值范围是9,34  ．故选：

　B ．

　 二、解答题（本大题共 4 小题，共计 36 分）

　17、（本小题 8 分）已知全集 U R ，集合  2| 4 5 0 A x x x     ，   |2 4 B x x    . （1）求  UA C B  ； （2）若集合   | 4 , 0 C x a x a a     ，满足 C A A  U ， C B B  ，求实数 a 的取值范围. 【解析】（1）由题   | 1 5 A x x     ，  | 2UC B x x   或  4 x  ，，    | 1 2UA CB x x     或 4 5 x   ； （2）由 C A A  U 得 C A  ，则14 5aa  ，解得514a    ，

　 7 由 C B B  得 B C  ，则24 4aa ，解得 1 2 a   ， ∴实数 a 的取值范围为5|14a a    ． 18、（本小题 8 分）已知函数   log ax bf ** b   0, 0, 0 a a b    . （1）求函数   f x 的定义域； （2）判断函数   f x 的奇偶性，并说明理由； 【解析】(1)由x bx b0，化为：

　   0 x b x b    . 当 0 b 时，解得 x b  或 x b  ； 0 b 时，解得 x b  或 x b  . ∴函数   f x 的定义域为：

　0 b 时， ( ) ) , ( , x b b     ， 0 b 时， ( ) ) , ( , x b b     . (2)∵定义域关于原点对称， ( ) ( ) loga ax b x bf x log f ** b x b         ， ∴函数   f x 为奇函数. 19、（本小题 10 分）已知函数2( )x af xb x是定义在 ( 1,1)  上的奇函数，且1 2( )2 5f  ． （1）用定义证明：( ) f x 在 ( 1,1) 上是增函数； （2）若实数 m 满足 ( 1) (1 2 ) 0 f m f m     ，求 m 的取值范围． 【解析】函数  2x af xb x是定义在   1,1  上的奇函数， ∴   0 0 f  ， 0ab ， 0 a  ， 又∵1 22 5f   ，∴ 1 b ， ∴  21xf **． （1）证明：设1x ，2x 是   1,1  上任意两个实数，且1 21 1 x x     ， ∴       2 1 1 22 12 12 22 22 12 111 1 1 1x x x x x xf x f ** x x x       ， ∵1x ，  21,1 x   ，且2 10 x x   ，1 21 0 x x   ，

　 8 ∴    2 1 1 22 22 1101 1x x x ** x  ， ∴    2 1f x f x  ，∴   f x 在   1,1  上单调递增． （2）解：∵  21xf **是   1,1  上的奇函数且单调递增， 又∵     1 1 2 0 f m f m     ，∴     1 2 1 f m f m    ， ∴1 1 1,1 2 1 1,1 2 1,mmm m         综上得 0 1 m   ． 20、（本小题 10 分）已知函数  2( ) 3 3xf x a a a    是指数函数． (1)求( ) f x 的表达式； (2)判断 ( ) ( )( ) F x f x f x    的奇偶性，并加以证明

　(3)解不等式：

　log (1 )log ( 2)a ax x    ． 【解析】（1）∵函数  2( ) 3 3xf x a a a    是指数函数， 0 a  且 1 a ， ∴23 3 1 a a    ，可得 2 a 或 1 a  （舍去），∴ ( ) 2 x f x  ； （2）由（1）得 ( ) 2 2x xF x  ， ∴ ( ) 2 2x xF x   ，∴ ( ) ( ) F x F x    ，∴ ( ) F x 是奇函数； （3）不等式：2 2log (1 ) log ( 2) x x    ，以 2 为底单调递增， 即 1 2 0 x x     ， ∴122x     ，解集为1{ | 2 }2x x     ．

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